Tema: Óptimo del Consumidor; Función Indirecta de Utilidad; Función de Gasto Mínimo
Curso: Microeconomía Intermedia I
Nivel: Intermedio
Problema 1 : Si U=XY; Px=2;Py=4; m=40, encuentre el consumo de X del consumidor
Problema 2: Si U=XY; Px=2; Py=4 encuentre el máximo nivel de utilidad obtenido
Problema 3: Si U=XY; Px=2; Py=4; U=50, encuentre el gasto mínimo del consumidor
Problema No. 1: Si U=XY la tasa subjetivo de cambio, TSC, (pendiente de la curva de indiferencia) es Y/X. La TSC mide el número de unidades de Y que estamos dispuestos a entregar a cambio de una unidad adicional de X. Alternativamente, X/Y es la TSC que mide el número de unidades de X que estamos dispuestos a entregar a cambio de una unidad adicional de Y.
Px/Py es la tasa objetiva de cambio, TOC, (pendiente de la recta de presupuesto. La TOC mide el número de unidades de Y que tenemos que entregar a cambio de una unidad adicional de X.
El óptimo del consumidor se encuentra cuando la TSC=TOC, en consecuencia
 "\frac{Y}{X}=\frac{P_x}{P_y}=\frac{2}{4}\Longrightarrow X=2Y\:\:\:\:\left(I\right)")
La ecuación de la recta de presupuesto es
 "P_xX+P_yY=m\Longrightarrow2X+4Y=40\:\:\:\:\left(II\right)")
Reemplazando (I) en (II):
Para cualquier función de utilidad del tipo Cobb Douglas, 
y dados 
, la TSC es igual a 
, la TOC es 
; en consecuencia 
. La ecuación de la recta de presupuesto es 
en consecuencia podemos obtener %253Dm%255CRightarrow%2520P_xX%252B%255Cfrac%257B%255Cbeta%2520P_xX%257D%257B%255Calpha%257D%253Dm%255CRightarrow%2520X%255E%257B%255Cast%257D%253D%255Cfrac%257B%255Calpha%2520m%257D%257B%255Cleft(%255Calpha%252B%255Cbeta%255Cright)P_x%257D%255CRightarrow%2520Y%255E%257B%255Cast%257D%253D%255Cfrac%257B%255Cbeta%2520m%257D%257B%255Cleft(%255Calpha%252B%255Cbeta%255Cright)P_y%257D%255C%253A "P_xX+P_y\left(\frac{\beta P_xX}{\alpha P_y}\right)=m\Rightarrow P_xX+\frac{\beta P_xX}{\alpha}=m\Rightarrow X^{\ast}=\frac{\alpha m}{\left(\alpha+\beta\right)P_x}\Rightarrow Y^{\ast}=\frac{\beta m}{\left(\alpha+\beta\right)P_y}\:")
.
Gráficamente
Problema No. 2: Si conocemos los precios de los bienes, el ingreso y la función de utilidad, podemos estimar las cantidades óptimas de X y de Y. Considerando una función de utilidad del tipo Cobb Douglas como 
, la demanda de X y de Y se obtienen mediante la fórmula: 
. En consecuencia la máxima utilidad resultante se encuentra mediante 
que se conoce como la función indirecta de utilidad. Aquí la utilidad depende del ingreso y del precio de los bienes. Reemplazando por los valores de los precios y del ingreso se obtiene 
.
Gráficamente:
Problema No. 3: Si conocemos los precios de los bienes, la función de utilidad y la utilidad, podemos encontrar el gasto mínimo que hace el consumidor para obtener esa utilidad. Recordemos que el consumidor maximiza utilidad sujeto a la restricción de presupuesto. Su ingreso tiene que ser igual al gasto en los bienes. Ya conocemos la función indirecta de utilidad 
,si despejamos el ingreso obtenemos 
que se conoce como la función de gasto mínimo. Reemplazando por el nivel de utilidad y los precios, se obtiene 
.
Gráficamente:
Pueden trabajar diferentes problemas empleando la siguiente hoja de cálculo: CLICK AQUÍ
