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Un problema sobre mercados competitivos
diciembre 31st, 2008 by Guillermo Pereyra

Nora nos envió este problema:

Cada empresa de una industria perfectamente competitiva tiene la siguiente función de costos totales a largo plazo, $latex CT=q^{3}-50q^{2}+750q$. La función de demanda del mercado está dada por $latex Q=2000-4P$. Y nos piden:

  1. La curva de oferta de la empresa en el largo plazo
  2. ¿Cuántas empresas hay en la industria en el equilibrio de largo plazo?

Como tenemos la curva de oferta de largo plazo de cada empresa, podemos hallar su curva de oferta. La curva de oferta de largo plazo de una empresa, es su curva de costo marginal para el tramo de producción donde el costo medio es igual o mayor al costo marginal. La curva de costo marginal de largo plazo de cada empresa es la primera derivada de su curva de costo total, es decir $latex CMg=3q^{2}-100q+750$.

La curva de costo medio de largo plazo de cada empresa, se obtiene dividiendo el costo total entre el nivel de producción, es decir $latex CMe=q^{2}-50q+750$ . Y el nivel de producción donde el costo medio es igual al costo marginal, corresponde al nivel de producción donde el costo medio es mínimo. Para hallar el nivel de producción de costo medio mínimo, minimizamos la función de costo medio. Es decir, tomamos la primera derivada y la igualamos a cero.

$latex \frac{dCMe}{dq}=0 \rightarrow 2q-50=0 \rightarrow q=25$

 En consecuencia, la función de oferta de cada empresa en el largo plazo, viene a ser su función de costo marginal para los niveles de producción de 25 unidades a más. Por lo tanto, para cada empresa $latex P=3q^{2}-100q+750$, es su función de oferta si $latex q\geq 25$.

Vamos ahora a encontrar el número de empresas. Para hallar el número de empresas en el mercado tenemos que asumir el equilibrio de largo plazo. En equilibrio de largo plazo, el beneficio de las empresas es nulo. Todas y cada una de las empresas están produciendo al nivel donde el precio de equilibrio del mercado es igual al costo medio. Y como la condición de maximización del beneficio de cada empresa se obtiene igualando el precio con el costo marginal, entonces el precio debe ser igual al costo marginal y al costo medio. Esta condición se obtiene cuando el costo medio es mínimo.

Ya conocemos el nivel de producción que minimiza el costo medio de las empresas. Es 25 unidades. Y el costo medio para 25 unidades es $latex CMe=25^{2}-50*25+750=125$. Por lo tanto, el precio de equilibrio de largo plazo es igual a 125 nuevos soles.

Como también conocemos la demanda del mercado, $latex Q=2000-4P$, en equilibrio de largo plazo, la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada, entonces $latex Q=2000-4*125$, es decir $latex Q=1500$.

Si cada empresa produce 25 unidades y en el mercado se venden 1500 unidades, entonces el número de empresas en el mercado es 60.

Actualización, 31/12/2008, 3:31 pm.

Dada la función de costos de largo plazo, $latex CT=q^{3}-50q^{2}+750q$, la función de costo marginal es $latex CMg=3q^{2}-100q+750$. Esta función tiene forma de U, un primer tramo decreciente, de 0 a 16.66 unidades, y un segundo tramo creciente a partir de 16.66 unidades. Pero el valor mínimo del costo marginal es negativo e igual a -83.33 nuevos soles.  Come el costo medio mínimo se encuentra cuando se producen 25 unidades, la curva de oferta sería la curva de costo marginal en su tramo creciente y a partir de 25 unidades. El grafico que sigue muestra el costo marginal y el costo medio de la empresa.


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