Nora nos envió este problema:

Cada empresa de una industria perfectamente competitiva tiene la siguiente función de costos totales a largo plazo, . La función de demanda del mercado está dada por . Y nos piden:

1. La curva de oferta de la empresa en el largo plazo
2. ¿Cuántas empresas hay en la industria en el equilibrio de largo plazo?

Como tenemos la curva de oferta de largo plazo de cada empresa, podemos hallar su curva de oferta. La curva de oferta de largo plazo de una empresa, es su curva de costo marginal para el tramo de producción donde el costo medio es igual o mayor al costo marginal. La curva de costo marginal de largo plazo de cada empresa es la primera derivada de su curva de costo total, es decir .

La curva de costo medio de largo plazo de cada empresa, se obtiene dividiendo el costo total entre el nivel de producción, es decir . Y el nivel de producción donde el costo medio es igual al costo marginal, corresponde al nivel de producción donde el costo medio es mínimo. Para hallar el nivel de producción de costo medio mínimo, minimizamos la función de costo medio. Es decir, tomamos la primera derivada y la igualamos a cero.

 En consecuencia, la función de oferta de cada empresa en el largo plazo, viene a ser su función de costo marginal para los niveles de producción de 25 unidades a más. Por lo tanto, para cada empresa , es su función de oferta si .

Vamos ahora a encontrar el número de empresas. Para hallar el número de empresas en el mercado tenemos que asumir el equilibrio de largo plazo. En equilibrio de largo plazo, el beneficio de las empresas es nulo. Todas y cada una de las empresas están produciendo al nivel donde el precio de equilibrio del mercado es igual al costo medio. Y como la condición de maximización del beneficio de cada empresa se obtiene igualando el precio con el costo marginal, entonces el precio debe ser igual al costo marginal y al costo medio. Esta condición se obtiene cuando el costo medio es mínimo.

Ya conocemos el nivel de producción que minimiza el costo medio de las empresas. Es 25 unidades. Y el costo medio para 25 unidades es . Por lo tanto, el precio de equilibrio de largo plazo es igual a 125 nuevos soles.

Como también conocemos la demanda del mercado, , en equilibrio de largo plazo, la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada, entonces , es decir .

Si cada empresa produce 25 unidades y en el mercado se venden 1500 unidades, entonces el número de empresas en el mercado es 60.

Actualización, 31/12/2008, 3:31 pm.

Dada la función de costos de largo plazo, , la función de costo marginal es . Esta función tiene forma de U, un primer tramo decreciente, de 0 a 16.66 unidades, y un segundo tramo creciente a partir de 16.66 unidades. Pero el valor mínimo del costo marginal es negativo e igual a -83.33 nuevos soles.  Come el costo medio mínimo se encuentra cuando se producen 25 unidades, la curva de oferta sería la curva de costo marginal en su tramo creciente y a partir de 25 unidades. El grafico que sigue muestra el costo marginal y el costo medio de la empresa.

La exoneración del pago de impuestos sobre las gratificaciones para los trabajadores del sector privado, sigue siendo el tema en agenda de los políticos. Aquí hemos sostenido que este proyecto, presentado por el Congresista García Belaúnde, no favorece a los trabajadores sino más bien a los ricos en nuestro país. Estamos más allá del prejuicio según el cual si se trata de trabajadores, se tiene que aprobar la propuesta, sin considerar que este dispositivo está más bien orientado a una minoría de la población que es la que mayores ingresos económicos tiene.

El debate sobre el proyecto está ideologizado, como siempre. Se quiere presentar como un proyecto a favor de los trabajadores y quienes los respaldan respaldan a los trabajadores y los que lo rechazan están en contra de los trabajadores. El Congresista García Belaúnde insiste en este sofisma. En declaraciones publicadas por el diario Peru21, García Belaúnde espera que

… el Congreso ejerza su soberanía para que se imponga a un Gobierno insensible que está en contra de la clase trabajadora.

!Soberanía de un congreso sobre un gobierno en contra de la clase trabajadora! Realmente increíble. Pero, ¿de qué Congreso está hablando este Señor? De un Congreso donde los congresistas presentan comprobantes de pago falsos (los comepollos), donde los Congresistas meten en planilla a sus empleadas domésticas, donde los Congresistas recortan el sueldo de sus empleados, donde los Congresistas se incrementan el sueldo para no justificar gastos. Y éste es el congreso sobrerano que defiende a la clase trabajadora(!!!).

Esta ley favorece, en primer lugar, a los Congresistas, que tienen los sueldos más altos de todo el país y que recientemente se los han incrementado convirtiendo sus gastos operativos en remuneración. Con esta ley los Congresistas no van a pagar impuesto a la renta, ni las contribuciones a Essalud ni a los sistemas de pensiones. Así que, una vez más, tenemos una ley hecha por los beneficiarios directos. Y en segundo lugar, la ley favorece a todos los trabajadores del sector privado que se encuentran en planilla y que también son una minoría de la PEA, y que tienen salarios más altos que los trabajadores fuera de planilla.

¿Y qué pasa con los trabajadores del sector público que no reciben gratificación alguna? ¿Y qué pasa con los trabajadores del sector privado que son informales? ¿Qué dice de esto el Sr. García Belaúnde, defensor de la clase trabajadora?

Pero la clase trabajadora también tiene otros defensores. ¿Quiénes? Nada menos que los empresarios; es decir los que emplean (¿explotan?) a la clase trabajadora. El Presidente de la Asociación de Exportadoras acaba de declarar que

la promulgación de dicha norma originaría que los ciudadanos cuenten con mayor disponibilidad de dinero, lo que se traduciría en un mayor consumo y pago de impuestos.

Y el Presidente de la Sociedad de Industrias, Eduardo Farah, está de acuerdo con la Ley. Y lo mismo Peter Anders, Presidente de la Cámara de Comercio de Lima, que piensa que 

dicha medida serviría para reducir los sobrecostos laborales y por lo tanto favorecería la generación de más empleo.

Y no podía faltar en esta defensa el Sr. Mario Huamán que sostiene los mismos argumentos de los Congresistas y de los Empresarios. Dice Mario Huamán

El Parlamento debe insistir con esta ley. El Estado dice que el fisco perderá dinero, pero yo le digo, ¿acaso los trabajadores solo tributan dos meses al año? No, señor, lo hacen todo el año. Además, así se obtendrían mayores ingresos para el hogar, pues los sueldos y salarios están congelados hace mucho tiempo, a pesar de que las cosas suben a cada momento", precisó.

 Resumamos. El Sr. Congresista García Belaúnde propone una Ley que exonera de impuestos y contribuciones al pago de gratificaciones de los trabajadores del sector privado (incluídos los Congresistas).El proyecto es respaldado por los empresarios agrupados en la Sociedad de Industria,s la Cámara de Comercio de Lima y la Asociación de Exportadores. El proyecto también es respaldado por la CGTP a través del Sr. Mario Huamán. Sindicalistas, Empresarios y Congresistas, unidos en defensa de la clase trabajadora. (!!)

Pero esta Ley tendría, además, otra virtud y muy importante. Estaría en línea con las medidas anticrisis del propio gobierno. Así lo sostiene hoy Kurt Burneo

Sobre los efectos de desgravar de impuestos a las gratificaciones, Burneo dijo que esto les daría más efectivo a los trabajadores y aumentaría el consumo y la demanda interna del país, lo que constituye uno de los objetivos de las medidas anticrisis anunciadas por el Ejecutivo semanas atrás.

Con todos estos argumentos y con todas estas alianzas, parecería absurdo que Alan García insista en observar la Ley. Pero no es absurdo. Los empresarios no quieren pagar impuestos, sobrecostos laborales le llaman, y se trepan al trencito de García Belaúnde. Y los Congresistas y los Trabajadores mejor remunerados del sector privado, tampoco quieren pagar impuestos.

El argumento fuerte es el siguiente: Si los mineros con sus extraordinarias ganancias no quisieron pagar impuestos y no los pagaron, ¿porque los va a pagar la "clase trabajadora"?.  Porque siempre los pagaron y seguir pagándolos no los va a afectar, y dejarlos de pagar no va a resolver la crisis.

La verdadera injusticia no se encuentra en el pago de impuestos sobre las gratificaciones. Se encuentra en la ausencia de gratificaciones para todos los trabajadores del sector público. Se encuentra en la informalidad del empleo en el sector privado. Se encuentra en la explotación del trabajo bajo las modalidades de SNP y pago por rentas de cuarta categoría, que encubren el subempleo.

¿Por qué los congresistas como el Sr. García Belaunde se preocupan por los menos y no por los más? Si de lo que se trata es de sostener y expandir la demanda, se debería incluir a los trabajadores públicos del beneficio de la gratificación de Julio y Diciembre. Si los empresarios quieren que los trabajadores cuenten con mayor disponibilidad de dinero, lo que se traduciría en un mayor consumo y pago de impuestos, que incorporen a planilla a todos los trabajadores informales.De esta manera el ingreso de la "clase trabajadora" crecería y crecería "la clase trabajadora" y crecerían los fondos de la seguridad social y del sistema de pensiones.

Actualización, 30/12/2008, 9:22 pm.

La caricatura de Alfredo publicada hoy en Correo, expresa de manera genial, lo que aquí habíamos escrito: cómo la ley que exonera de impuestos a las gratificaciones, genera la defensa de la "clase trabajadora" por parte de sus explotadores.

Los más importantes modelos para comprender el conjunto de estructuras de mercado, son el monopolio y la competencia. Ambos modelos representan los extremos de todas las otras posibilidades de mercado. Y es muy importante tener un sólido conocimiento de los principios básicos de estos dos modelos, para comprender los demás.

El software Cournol les va a permitir fortalecer el conocimiento de estos dos modelos. El software se ha desarrollado bajo la licencia GPL, licencia abierta de software libre; trabaja para Linux y también para Windows. Para quienes trabajan con Linux, pueden bajar el software aquí: cournol-0.5.tar.gz (368.6kB). Y para quienes trabajan con Windows, pueden bajar el software aquí: cournol-0.4-setup.exe (3.6MB).

El orígen del nombre del programa es curioso. Viene de COURNOT, el filósofo, matemático y economista francés que estudió y desarrolló los modelos de oligopolio. Lo curioso es que el nombre del programa no termina en T sino en L. Y es que el nombre de COURNOT pertenece sólo a la parte COURN del nombre del programa. La parte final del mismo, OL, corresponde a la parte final del nombre de COMPETENCIA y MONOPOLIO pero en Alemán. En Alemán Competencia es POLYPOL y Monopolio es MONOPOL. En inglés los terminos son POLYPOLY y MONOPOLY. Si bien el término inglés POLYPOLY es poco frecuente para nosotros, es el término que corresponde al modelo competitivo.

Ya se puede sospechar que el programa fue elaborado en Alemania. Pero las pantallas del mismo están en inglés y no ofrecen mayores dificultades.

Una vez el programa ha sido instalado en su computador y ejecutado, la primera pantalla que aparece es la que sigue:

Aquí tienen que elegir si van a analizar el mercado competitivo (click sobre polypoly) o el modelo de monopolio (click sobre monopoly). Y luego deben elegir la función de costos. Pueden decidirse por una función lineal, una de segundo grado, o una de tercer grado. Al elegir cualquiera de ellas, en la siquiente pantalla pueden configurar los parámetros de la función de costos. Definido el modelo de mercado y el tipo de función costos, click sobre FORWARD.

La siguiente pantalla es la que aparece cuando se elige el mercado competitivo y una función de costos lineal.

Aquí escogen los parámetros de la función de costos y determinan el precio del mercado. El programa analiza el comportamiento de la empresa dado el precio del mercado. Y también definen el máximo de capacidad de la empresa (número máximo de unidades que puede producir, y que determinan la longitud del eje horizontal de las graficas). Click sobre FORWARD y llegan a la pantalla final:

El grafico de la izquierda muestra la curva de costo total y de ingreso total. El grafico de la derecha muestra la curva de costo marginal, de costo medio, de costo variable medio y el precio del mercado (que es, a su vez, el ingreso medio y el ingreso marginal de la empresa). Igualando el precio con el costo marginal, se encuentra el nivel de producción que maximiza el beneficio. Puede mover el curso hacia este punto en el dibujo de la derecha y podrá apreciar los resultados en la pantalla inferior (que muestra los valores del eje horizontal, cantidades, y del eje vertical, precios). En la parte superior de los dibujos, aparecen los resultados encontrados.

Si se hubiera escogido el mercado monopólico y la función de costos lineal, el resultado hubiera sido el siguiente:

Igual que antes, el dibujo de la izquierda muestra el ingreso total y el costo total, pero también la solución COURNOT, es decir, el punto donde opera el monopolista. Y lo mismo ocurre en el dibujo de la derecha. Aquí tienen la curva de demanda (a su vez, de ingreso medio), la curva de ingreso marginal y la de costo marginal. La solución COURNOT se encuentra cuando se iguala el ingreso marginal con el costo marginal. Como antes, pueden ubicar la solución moviendo el cursor hasta el punto correspondiente. Arriba de los dibujos aparecen los resultados encontrados.

Es una herramienta extraordinaria para el aprendizaje. Disfrútenlo.

Al 27 de Diciembre hemos recibido 466350 visitantes, un promedio de 40,000 visitas al mes. El mes de Setiembre registramos 52000 visitantes, en Octubre 70000 y en Noviembre 76000. Si logramos mantener un promedio de 50,000 visitantes mensuales el año 2009, estaríamos registrando un crecimiento anual de 34% ,llegando a 624000 visitas. Gracias, muchas gracias, por la aceptación recibida por este sitio durante el año 2008.

Los últimos fines de año hemos despedido el año con unos presentes en software libre. La idea es distribuir herramientas eficientes de trabajo. El año pasado fue RACHOTA, un cronómetro de tareas cuando trabajamos con la PC. Para este año les ofrecemos la herramienta más exitosa en el mundo para elaborar mapas mentales: FREEMIND. Hemos elaborado un mapa mental para presentarles esta herramienta. Click en la imagen y acceden al mapa mental. Y al final del mapa mental encuentran el enlace para obtener el software. Es una aplicación EXE para Windows. Bajen el archivo, doble click sobre él y tendrán a disposición esta notable herramienta.

FELIS AÑO 2009!!

La noticia la trae El Comercio, el Alcalde de Trujillo, César Acuña Peralta, distribuyó ayer cien mil juguetes entre los niños de la periferia… de Lima. Unos días atrás ocurrió algo parecido. Fue durante la Teletón en Palacio de Gobierno del 21 de Diciembre. El Sr. Alex Kouri Presidente Regional del Callao entregó un cheque por 50,000 dólares para el Hogar Clínica San Juan de Dios… de Lima. Y unos meses antes, el mismo personaje, Kouri, entregó 200,000 nuevos soles a la Escuela Nacional Superior de Arte Dramático (ENSAD)…de Lima.

Si arriesgamos una cifra que estime el gasto en juguetes por parte del Alcalde Trujillo, esta sería de un millón de nuevos soles, si cada juguete tiene un precio promedio de 10 nuevos soles. Si los juguetes costarán la mitad, el gasto realizado ascendería a 500,000 nuevos soles. Es decir, un gasto de entre 161,000 y 323,000 dólares. Y en el caso del Presidente Regional del Callao, el gasto sería de 115,000 dólares. Un total de entre 276,000 y 438,000 dólares de los recursos de la Municipalidad Provincial de Trujillo y del Gobierno Regional del Callao que se destinan para favorecer a personas o instituciones fuera de sus respectivos territorios.

¿Cuánto ha gastado el Alcalde de Trujillo en esta navidad para los niños de Trujillo? No lo sabemos. ¿Cuánto ha hecho por el Callao el Sr. Kouri? Tampoco lo sabemos. Pero nos queda muy claro que en ambos casos se pudo hacer más si no se destinaban estos recursos fuera del territorio Trujillo y del Callao. ¿O es que la pobreza desapareció totalmente de estas zonas y sobran recursos como para ayudar al resto del país? ¿Por qué el interés del Sr. Acuña en los barrios periféricos de Lima? ¿Por qué el interés del Sr. Kouri en apoyar al Hospital San Juan de Dios y no al Hospital de Rehabilitación del Callao?

El Sr. Acuña como el Sr. Kouri son titulares de sus pliegos presupuestarios. Pero no tienen la autoridad suficiente para decidir de manera arbitraria en emplear los recursos para beneficiar otros territorios. Tal vez mañana el Sr. Kouri decida viajar a Trujillo y beneficiar alguna institución con 100,000 dólares, y el Sr. Acuña hacer lo propio en el Callao. De esta manera si ellos fueran candidatos a alguna elección nacional, seguramente tendrían más votos.

Recientemente el Congreso de la República ha tenido la feliz (?) idea de aprobar una Ley liberando el pago de las gratificaciones de Julio y Diciembre, de todo tipo de impuestos. Es decir, del pago del impuesto a la renta, del pago correspondiente a Essalud y del pago correspondiente a la AFP o la ONP. No se debe pagar impuesto a la renta, no se debe pagar por los servicios de salud y tampoco por la jubilación. El 100% de la gratificación debe ir entonces, a los bolsillos de los trabajadores.

La iniciativa legal estuvo a cargo del Congresista José Antonio García Belaúnde. En entrevista a los medios televisivos, ayer 24 de Diciembre, declaró para justificar su propuesta, que un servicio no se puede pagar dos veces. Se refiere al pago a la ONP u AFP por pensiones, y al pago a Essalud, por el servicio de salud. Si ya se pagaron estos servicios con el sueldo, entonces ya están pagados y no se debe pagar más. García Belaúnde se perfila como defensor de los intereses del proletariado y la empleocracia peruana.

Pero voceros del Ejecutivo, partiendo del Ministro de Economía y llegando al Primer Ministro, habían advertido que el Ejecutivo observaría la Ley. ¿Por qué? Porque sería inconstitucional, además que su aplicación generaría una notable reducción de ingresos públicos y, en consecuencia, dificultades para cubrir el gasto presupuestado. Hoy La República recoge las declaraciones de Simon Munaro en este sentido.

En consecuencia, el Ejecutivo de Alan García estaría nuevamente a favor "de los ricos" y en contra de "los trabajadores".  Los argumentos de los defensores del proyecto de García Belaúnde, sostienen que el gobierno de García no ha querido aplicar impuestos a las sobreganancias mineras y tampoco a las ganancias en bolsa y sin embargo está dispuesto a cobrar impuestos sobre las gratificaciones de los trabajadores.

Todo esto es cierto, pero no es cierto que exista una relación de dependencia entre ambos hechos.

El punto de partida en el caso de las ganancias mineras y de bolsa, es que estas ganancias no están afectas. El punto de partida en el caso de las gratificaciones es que éstas sí están afectas. Lo que el proyecto de García Belaúnde quiere, es generar una excepción al pago de impuestos, y por eso no le preocupan las sobreganancias mineras y de bolsa porque allí precisamente no se pagan impuestos.

Lo lógico sería mantener la tributación sobre las gratificaciones y aplicarlas en el caso de las sobreganancias. Y la razón es una sola: se trata de gravar los mayores ingresos de los contribuyentes. Se trata de gravar a los ricos y no a los pobres. Y en el Perú los ricos son los mineros, son los que especulan en bolsa y son los trabajadores que perciben gratificaciones.

Porque la gran mayoría de los peruanos no perciben gratificaciones en Julio y Diciembre. Los que perciben gratificaciones son los trabajadores del sector privado protegidos por la Ley 27735, y antes por la Ley 25139. La primera, la Ley 27735 es de Mayo del 2002 durante el gobierno de Alejandro Toledo. Y la segunda, la Ley 25139 es de Diciembre de 1989 durante el primer gobierno de Alan García. Ambas leyes disponen el pago de gratificaciones para los trabajadores del sector privado en Julio y Diciembre y por el monto de los ingresos mensuales percibidos.

Antes de Diciembre de 1989, el pago de gratificaciones en el sector privado era una costumbre en un pequeño sector. De allí el merito de Alan García de convertir esta costumbre en un derecho para los trabajadores.

Sin embargo, el propio Alan García, y luego Alejandro Toledo, se negaron a extender el derecho a los trabajadores públicos. Los trabajadores públicos no reciben gratificación alguna, si no contamos la "propina" que el Estado entrega por valor de 200 nuevos soles. Aquií nadie ha dicho nada. García Belaúnde no tiene interés alguno en proponer la extensión del derecho de gratificación al sector público. Tal vez porque él mismo,  y todos los congresistas, recibe gratificación completa como si perteneciera al régimen de la Ley 27735.

Y los que no se encuentran en planilla del sector pública ni del sector privado, pero que también son trabajadores, no reciben ninguna gratificación.  Y son los trabajadores del sector público, y los que no están bajo planilla en el sector privado y público, quienes reciben menores remuneraciones.

De tal manera que el proyecto de García Belaúnde es un proyecto en defensa de los ricos en este país, no en defensa de los derechos de los trabajadores.

De otro lado, cuando García Belaúnde sostiene que es injusto pagar dos veces por el mismo servicio, como pretexto para no pagar los aportes a Essalud, y como argumento para sostener su proyecto; está mintiendo. Los pagos a Essalud no son pagos por servicios recibidos, son pagos por pertenecer a un sistema que nos da derecho a recibir servicios de salud, prácticamente sin límite. Un trabajador con sueldo mínimo y no más de dos años de aportaciones al seguro, tiene el derecho a recibir, por ejemplo, un transplante de corazón, cuyo costo es superior a los 50,000 dólares. Y para recibir el servicio nada tiene que ver el hecho que sus aportaciones han sido mucho menores al costo de la atención. El sistema es piramidal. Los siniestros de salud son financiados por los aportes de todos.

Y los aportes son una proporción de los ingresos percibidos por el trabajador. Más ingresos del trabajador (por ejemplo, por gratificaciones), mayores aportes a Essalud. Así de simple. De esta manera, mientras mejor remunerados los trabajadores (por mayores sueldos o por mayor número de sueldos al año), mejor para la seguridad social del país y mejor para todos los trabajadores. Pero si se aprueba este proyecto, se afecta la seguridad social.

El derecho a una gratificación, establecido por el mismo presidente que hoy está en Palacio, en 1989, debe ser extendido a los trabajadores del sector público. Y todos tienen que pagar impuestos. Y las sobreganancias mineras también. Y también las ganancias de bolsa.

Y en el Perú que pensábamos que Carlos Manrique y las estafas piramidales eran un asunto sólo nuestro. Hasta que apareció Bernard Madoff y su estafa de 50,000 millones de dólares. El Carlos Manrique gringo (excelente nombre que le pusieron a Madoff en La República) la hizo y la hizo bien. ¿Cómo? Sorprendiendo a todos los que siguen creyendo en la merienda gratis.

Una tía mía le dió todos sus ahorros a Manrique y estaba felíz. Y estaba feliz porque Manrique le pagó altísimos intereses una vez, y una segunda vez y una tercera vez, y nunca más nada. Y claro, todo lo que recibió en intereses siempre fue menos de su capital. Nunca fue un reparto de plusvalía y en algún momento tenía que reventar. Y Madoff hizo exáctamente lo mismo.

Pero uno puede pensar que los rentistas peruanos son ingenuos y creyentes (en la merienda gratis), y no cree que los gringos puedan caer igual. Es decir, no se cree que los gringos caigan como cholitos. Pero Madoff los hizo cholitos igual que Manrique. Les ofreció altos intereses y les pagó altos intereses y hasta comisiones si presentaban a otros ingenuos, perdón, inversionistas. Y este es el principio de la pirámide.

¿Y quién es Madoff? Fue presidente de NASDAQ, la bolsa de valores de comercio electrónico más grande de los EEUU. Y este cargo le ha sido extremadamente útil. Si tienes un excedente y el ex presidente de Nasdaq te ofrece un alto interés, ¿qué haces?.

Aquí tienen una excelente y sencilla explicación del tema Madoff por parte del Profesor Abadie.

Aquí les alcanzo las preguntas del examen de microeconomía para el curso de actualización del BCR, que se administró el 2007. Al final encuentran la clave de respuestas.

Examen Microeconomía

Zuleyma nos presenta un problema:

Un fabricante ha vendido 1,000 aparatos de televisión por semana a 450 dólares cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada diez dólares de descuento que ofrezca, el número de aparatos se incrementará en 100 por semana.

a) Encuentre la función de demanda

b) ¿Cuan grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía para maximizar su ingreso?

c) Si la función de costo semanal es C(q)=68,000+150q, ¿Cuál tiene que ser la magnitud del descuento para maximizar el beneficio?

En el punto sobre la curva de demanda donde está operando el fabricante, el precio es 450 y la cantidad demandada es 1000 unidades. Si baja el precio a 440, 430, 420, etc., la cantidad demandada se incrementa en una cantidad constante: 100 unidades. Es decir, la demanda es lineal y la pendiente de la función inversa de demanda es dP/dq= – 10/100= – 0.1. La forma general de una función inversa de demanda lineal es P=a – bq. b es la pendiente y a es el intercepto vertical. Aplicando la fórmula a la combinación (1000, 450), se tiene 450 = a – 0.1(1000) y entonces se obtiene a = 550 y la función inversa de demanda : P = 550 – 0.1q .

El ingreso total es igual a Pq y es igual al área del rectángulo bajo las coordenadas del punto de la curva de demanda donde opera el fabricante. Se trata ahora de conocer cuándo este rectángulo tiene un área máxima. Para descubrir el punto donde el ingreso total es máximo, tenemos que maximizar la función. Para ello aplicamos las condiciones de primer orden (CPO). Derivamos el ingreso total y lo igualamos a cero. Pq= 550q-0.1q² . Y a derivada del ingreso total igual a cero: 550-0.2q=0, y entonces q=2750 y P=275.

Si ahora se quiere maximizar el beneficio, tenemos que seguir el mismo criterio. Aplicar las CPO a la función beneficio. El beneficio es igual al ingreso total menos el costo total: 550q-0.1q² – 68,000 – 150q. Y derivando e igualando a cero tenemos, 550-0.2q-150=0 y entonces q=2000 y P=350.

Como el fabricante venía vendiendo 1000 unidades al precio de 450, para maximizar el beneficio tiene que ofrecer su producto a un precio de 350 y vender el doble de unidades. El descuento que tiene que realizar es de 100 dólares.