Un problema de demanda lineal

Zuleyma nos presenta un problema:

Un fabricante ha vendido 1,000 aparatos de televisión por semana a 450 dólares cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada diez dólares de descuento que ofrezca, el número de aparatos se incrementará en 100 por semana.

a) Encuentre la función de demanda

b) ¿Cuan grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía para maximizar su ingreso?

c) Si la función de costo semanal es C(q)=68,000+150q, ¿Cuál tiene que ser la magnitud del descuento para maximizar el beneficio?

En el punto sobre la curva de demanda donde está operando el fabricante, el precio es 450 y la cantidad demandada es 1000 unidades. Si baja el precio a 440, 430, 420, etc., la cantidad demandada se incrementa en una cantidad constante: 100 unidades. Es decir, la demanda es lineal y la pendiente de la función inversa de demanda es dP/dq= – 10/100= – 0.1. La forma general de una función inversa de demanda lineal es P=a – bq. b es la pendiente y a es el intercepto vertical. Aplicando la fórmula a la combinación (1000, 450), se tiene 450 = a – 0.1(1000) y entonces se obtiene a = 550 y la función inversa de demanda : P = 550 – 0.1q .

El ingreso total es igual a Pq y es igual al área del rectángulo bajo las coordenadas del punto de la curva de demanda donde opera el fabricante. Se trata ahora de conocer cuándo este rectángulo tiene un área máxima. Para descubrir el punto donde el ingreso total es máximo, tenemos que maximizar la función. Para ello aplicamos las condiciones de primer orden (CPO). Derivamos el ingreso total y lo igualamos a cero. Pq= 550q-0.1q² . Y a derivada del ingreso total igual a cero: 550-0.2q=0, y entonces q=2750 y P=275.

Si ahora se quiere maximizar el beneficio, tenemos que seguir el mismo criterio. Aplicar las CPO a la función beneficio. El beneficio es igual al ingreso total menos el costo total: 550q-0.1q² – 68,000 – 150q. Y derivando e igualando a cero tenemos, 550-0.2q-150=0 y entonces q=2000 y P=350.

Como el fabricante venía vendiendo 1000 unidades al precio de 450, para maximizar el beneficio tiene que ofrecer su producto a un precio de 350 y vender el doble de unidades. El descuento que tiene que realizar es de 100 dólares.