Un problema de Oligopolio: modelo Cournot

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Un problema de Oligopolio: modelo Cournot

February 20th, 2009 by Guillermo Pereyra

Rubén nos envía este problema:

Un mercado presenta una función de demanda

$P = 1000 - Q$

En él trabajan dos oligopolistas cuyas funciones de costes respectivas son las siguientes:

$CT_{1}=10+130Q_{1}$

$CT_{2}=10+170Q_{2}$

Se pide calcular las respectivas funciones de reacción, y la cantidad que cada uno suministra si siguen un modelo de Cournot.

Los costos marginales de cada duopolista son constantes

$CMg_{1}=130$

$CMg_{2}=170$

Para encontrar la solución a la Cournot, vamos a analizar primero, la conducta estratégica de la empresa 1. Como la demanda del mercado es

$P = 1000 - Q$

La demanda residual de la empresa 1 es

$P=1000-Q_{2}-Q_{1}$

Y el ingreso total es

$IT_{1} = 1000Q_{1} - Q_{1} Q_{2}-Q_{1}^{2}$

Y el ingreso marginal es

$IMg_{1} = 1000- Q_{2}-2Q_{1}$

Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos

$1000- Q_{2}-2Q_{1}=130$

Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1

$Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$

Seguimos el mismo procedimiento para obtener la función de reacción de la empresa 2:

La demanda residual de la empresa 2 es

$P=1000-Q_{1}-Q_{2}$

Y el ingreso total es

$IT_{2} = 1000Q_{2} - Q_{1} Q_{2}-Q_{2}^{2}$

Y el ingreso marginal es

$IMg_{2} = 1000- Q_{1}-2Q_{2}$

Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos

$1000- Q_{1}-2Q_{2}=170$

Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1

$Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$

En el siguiente grafico se muestran las funciones de reacción de los duopolistas. El punto de intersección entre ellas es el equilibrio Cournot. Resolviendo las ecuaciones de las funciones de reacción

$Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$

$Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$

Se obtiene $Q_{1}=303.33$ y $Q_{2}=263.33$ y $Q=566.66$ y el precio de venta sería $P=1000-566.66=433.33$

7 Responses

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