Un problema de “triopolio”: Modelo Cournot

Este problema fue enviado por Rubén:

 Calcule el precio, la cantidad y los beneficios de tres empresas que actúan en un mercado homogéneo sabiendo que la curva de demanda del bien es:
 

 
y que compiten en cantidades (equilibrio de Cournot). La función de costes es la misma para las tres empresas.
 

Esta curva de costos totales tiene forma de "U" como se puede apreciar en el siguiente grafico. No es un comportamiento esperado para los costos de producción de una empresa. Al comienzo los costos totales decrecen, lo que resulta muy curioso.

Para pequeños niveles de producción los costos son decrecientes, llegan a un costo mínimo y luego crecen. La conducta de los costos totales debería ser creciente; mientras más se produce más cuesta producir. Pero asumiendo que fuera así, la conducta del costo marginal de cada empresa sería lineal, pero con un tramo negativo (que explica el tramo decreciente del costo total). .

Teniendo en cuenta estas observaciones, vamos a buscar la solución al "triopolio" a la Cournot. Primero buscamos las funciones de reacción de cada empresa. Para ello estimamos la demanda residual de cada una. Empezamos por la empresa 1:

La demanda de la empresa 1 depende de cuánto ha colocado la empresa 2  y 3 en el mercado. Los ingresos por ventas de la empresa 1 son

Y el ingreso marginal de la empresa 1 es 

Ahora igualamos el ingreso marginal de la empresa 1 con su costo marginal

Y obtenemos la función de reacción de la empresa 1

Siguiendo el mismo el mismo procedimiento para la empresa 2 y para la empresa 3 se encuentras sus respectivas funciones de reacción

 
Resolviendo estas tres ecuaciones, se llega a la solución Cournot

Y las ventas totales en el mercado son

Con un precio igual a