El modelo Cournot de duopolio se sustenta en bienes o servicios homogéneos y donde la variable estratégica decisional, es el nivel de producción. Cada duopolista fija de manera simultánea (o sin conocer el momento en que el competidor toma su decisión) cuánto ha de producir en dirección a obtener el máximo beneficio.

Y para decidir cuánto producir cada duopolista asume cuánto producirá su competidor, es decir, cada duopolista actúa como un monopolista sobre la demanda residual del mercado, dado el nivel de producción de su competidor. Y esto lo lleva a aplicar la denominada regla de oro. Iguala el costo marginal con el ingreso marginal. El resultado no es un nivel óptimo de producción. El resultado es una función de producción que determina el nivel óptimo de producción en función de la producción del competidor. Se le conoce como función de reacción. Dadas las funciones de reacción, se tiene dos ecuaciones con dos incógnitas. Y se obtiene el nivel de producción óptimo de cada duopolista. Y dada la producción conjunta, se obtiene el precio del mercado. Este resultado se conoce como el equilibrio Cournot.

Pero, ¿qué ocurre con el beneficio si en lugar de competir en el mercado, los duopolistas deciden coludir? Es decir, actuar como si fueran un monopolio. O mejor aún, actuar como si fueran un monopolio multiplanta. El resultado es una menor producción, un mayor precio y un mayor beneficio. Pero también una mayor inestabilidad.

La colusión es inestable porque el costo de oportunidad de cada duopolista es alto considerando que el otro va a mantener el nivel de producción de colusión. Al estimar el nivel de producción que maximiza el beneficio dado que el competidor va a mantener el nivel de producción de colusión, se encuentra un volúmen de producción mayor, un precio de mercado menor y un beneficio mayor para el monopolista que rompe el acuerdo de colusión.

Y como a cada duopolista le conviene romper el acuerdo de colusión, la colusión es inestable.

El modelo Stackelberg es un modelo de duopolio que también se basa en la producción como variable estratégica decisional. Pero asume, de manera más realista, que los duopolistas no actúan simultáneamente, o sin conocer cuándo ha actuado el otro. Stackelberg asume que un duopolista actúa primero y luego lo hace el otro. El primero es el líder y el segundo el seguidor. El resultado es que el líder obtiene un beneficio mayor que el seguidor.

Pero ¿qué ocurre si en lugar de decidir cuánto producir, se decide a qué precio vender la producción?

En el model Bertrand la variable estratégica decisional es el precio. Dado el equilibrio Cournot, ¿qué ocurre si un duopolista decide disminuir su precio, digamos, en un centésimo de nuevo sol? Saca al competidor del mercado y se convierte en un monopolista. Esto ocurre porque el bien o servicio es homogéneo y los consumidores prefieren comprar más barato. Sin embargo, la reducción del precio que convierte a un dupolista en monopolista, también lo puede terminar sacando del mercado si su competidor decide también bajar su precio. El resultado es un guerra de precios. La guerra de precios se detiene en la barrera del costo marginal. Si los duopolistas tienen iguales costos marginales, el precio termina siendo igual al costo marginal y el beneficio desaparece.

El modelo Bertrand resulta una muy interesante respuesta al modelo Cournot porque cambia la variable estratégica decisional. Pero termina con un resultado inesperado. Buscando un mayor beneficio termina con un beneficio cero.

El modelo en precios con productos diferenciados es una alternativa que salva al modelo Bertrand.

El siguiente ejemplo explica su funcionamiento. Los duopolistas producen productos diferenciados. El bien que produce la empresa 1 es sustituto del bien que produce la empresa 2 y viceversa. La demanda del bien 1 depende directamente del precio del bien 2. Si el precio del bien 2 sube la demanda del bien 1 sube también. La cantidad demandada del bien 1 depende inversamente de su precio. Si el precio dle bien 1 sube disminuye la cantidad demandada. Y lo mismo ocurre con el bien 2. La demanda del bien 2 depende directamente del precio del bien 1. Si el precio del bien 1 sube la demanda del bien 2 sube también. La cantidad demandada del bien 2 depende inversamente de su precio. Si el precio dle bien 2 sube disminuye la cantidad demandada.

Supongamos las funciones de demanda de los duopolistas son

y supongamos también que las funciones de costos son las mismas e iguales a

Se trata de hallar el nivel de producción y el precio de cada duopolista y estimar el beneficio obtenido.

Empezamos por analizar el comportamiento de la empresa 1. Sus ingresos por ventas son

, es decir

y  de aquí obtenemos el ingreso marginal

y este resultado lo igualamos con el costo marginal

y obtenemos la función de reacción en precios de la empresa 1

Como las funciones de costos son las mismas para cada duopolista, la función de reacción en precios de la empresa 2 es simétrica a la de la empresa 1

Y resolviendo este sistema de ecuaciones llegamos a determinar los precios de cada duopolista

Las funciones de reacción en precios tienen pendiente positiva. El siguiente grafico muestra los resultados encontrados. La producción que maximiza el beneficio de cada empresa es 15.5 unidades. El costo total por empresa es 31 nuevos soles. El ingreso total por empresa es 69.75.  Y el beneficio obtenido por empresa es 38.75 nuevos soles.

El equilibrio encontrado, Cournot en precios con productos diferenciados, es estable. Si el precio fijado por el duopolista 1 por ejemplo, fuera mayor a 4.5 , digamos 5 nuevos soles, la respuesta de la empresa 2 es fijar un precio4.67. Pero si el duopolista 2 fija el precio en 4.67, la respuesta del duopolista 1 es fijar su precio en 4.55. Y la respuesta del duopolista 2 es fijar un precio de 4.51. El duopolista 1, 4.506, etc., hasta llegar al precio de equilibrio de 4.5 . Lo mismo ocurre si el precio es menor a 4.5.

Si un duopolista fija un precio, digamos de 4 nuevos soles, la respuesta del otro es fijar un precio de 4.33. El competidor responde fijando un precio de 4.44. El otro competidor, 4.48, etc., hasta llegar nuevamente al precio de 4.5 nuevos soles. El precio 4.5 nuevos soles es el precio de equilibrio Cournot en precios con productos diferenciados.

El modelo Bertrand fracasa porque el bien es homogéneo. Si se modifica por un producto diferenciado, el modelo se salva. En competencia cada empresa termina fijando el mismo precio (en este caso porque los costos son iguales) y si se desata una guerra de precios, se termina retornando al precio de equilibrio.

En el modelo Cournot en cantidades, el modelo Stackelberg representava una alternativa. Pero aquí, con productos diferenciados, no tiene sentido fijar primero el precio. Si alguien fija primero el precio el otro responde con un precio menor, y termina obteniendo menores beneficios.

Pero la colusión sí tiene sentido. Si los duopolistas se ponen de acuerdo para fijar un mismo precio, las funciones de demanda quedan como

donde es el precio bajo colusión.

Sumando las demandas, obtenemos la demanda del mercado , y la inversa de demanda y de aquí obtenemos el ingreso marginal . Igualando con el costo marginal, obtenemos y .

Cada empresa produce 9 unidades y las vende al precio de 11. Los ingresos por empresa son 99, los costos son 18, y el beneficio es 81 nuevos soles, bastante mayor que el beneficio competitivo de 38.75. Pero la colusión es inestable.

Si el duopolista 1 sabe que el duopolista 2 va a vender al precio de 11 nuevos soles, puede decidir romper el acuerdo de colusión y fijar un precio, por ejemplo, de 10. La demanda a estos precios es y el beneficio obtenido es . Mientras tanto, la demanda del duopolista 2 que sí cumple con el acuerdo de colusión es y el beneficio obtenido es $latex 7*11-7*2=63 nuevos soles.

Pero lo que hace el duopolisa 1 al romper el acuerdo de colusión es lo también haría el duopolista 2 y la colusión termina siendo inestable como en el caso Cournot en producción. El grafico que sigue muestra la solución bajo colusión.