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En nuestro artículo del 17 de Abril pasado, nos referimos a la importancia de tener la mente abierta a formas especiales de las curvas de indiferencia. De lo que se trata es de pensar más allá de las formas comunes a las que nos tienen acostumbrados los manuales universitarios o a las interpretaciones comunes de los manuales universitarios. El mapa de curvas de indiferencia que colocamos como ejemplo, empleaba ángulos rectos, pero cóncavos en lugar de convexos. No se trataba entonces de bienes complementarios perfectos. Pero el algoritmo matemático más sencillo para los bienes complementarios perfectos, nos pude dar una pista para desentrañar el misterio:

Basta un pequeño cambio para encontrar el algoritmo que representa el mapa de preferencias cóncavas para bienes y en ángulo recto:

Y el mapa de indiferencias resultantes es :

En el caso de la curva de indiferencia más alta, allí donde el consumidor tiene 20 unidades del bien 1 y 20 unidades del bien 2, el nivel de utilidad obtenido es 20. Para las curvas de indiferencia que se encuentran más cerca del orígen de coordenadas, los valores del bien 1 y del bien 2, pueden dar niveles de utilidad como, por ejemplo, 18, 16 y 12.

Supongamos dos combinaciones diferentes al vértice en la curva de indiferencia más alta. Digamos (10, 20) y (20, 10). Con estas dos combinaciones podemos encontrar una combinación al medio del segmento lineal que las une: ((10+20)/2, (10+20)/2)=(15, 15).

La combinación (15, 15), genera un nivel de utilidad de 15, y entonces no es preferida frente a la combinación (10, 20) o la combinación (20, 10). Y entonces estas curvas de indiferencia son cóncavas, no convexas.

La idea aquí es que nos interesa tener un valor mayor, máximo, en cualquiera de los bienes que componen la combinación. Pero ¿de qué bienes se trata?

Los ejercicios sobre estos temas buscan fortalecer los conceptos. En el caso de preferencias, nos gusta contar un cuento a los Estudiantes, sobre el comportamiento de un consumidor, y pedirles que a partir de esa descripción imaginen la forma de las curvas de indiferencias que representan mejor dicho cuento. Y esto es lo que hacemos cuando trabajamos el capítulo 3 de Preferencias del Texto del Profesor Varian.

Para el capítulo 4, Utilidad, lo que hacemos es mostrar un algoritmo matemático y pedir a los Estudiantes que busquen la representación grafica correspondiente. Y en este caso particular, tenemos el algoritmo matemático y tenemos la representación grafica. Sólo nos falta el cuento.

Y el cuento lo hace el Profesor Bergstrom y el Profesor Varian, en su Texto de Ejercicios de Microeconomía Intermedia.

El bien en el eje horizontal son las notas del primer examen del curso de microeconomía. El bien en el eje horizontal son las notas del examen final del curso de microeconomía. Y la nota del curso de microeconomía es igual a la nota más alta.

El Profesor Gregory Mankiw está de acuerdo, no solo con una reducción en la tasa de interés, sino que ahora propone una tasa de interés negativa. El objetivo es enfrentar la recesión expandiendo la demanda, de tal manera que la reactivación llegue pronto. Lo mismo viene proponiendo nuestro BCRP, que ha bajado la tasa de interés en dos oportunidades este año. La tasa se encuentra aún en un nivel alto desde el punto de vista de las necesidades de reactivar el aparato producitivo. Estamos en 5%. En los EEUU ya se llegó al cero por ciento y ahora Mankiw propone intereses negativos.  Definitivamente el BCRP tiene que actuar con más agilidad. Bajar la tasa al 3% en la siguiente reunión de Directorio, sería audaz, pero muy necesario.

Pueden leer el artículo del Profesor Mankiw AQUÍ.

La siguiente digresión puede resultar muy simpática porque fuerza a una mayor creatividad de los estudiantes. Lo que se quiere es identificar la forma de las curvas de indiferencia de un consumidor, a partir de la descripción de sus preferencias.

Como se sabe, las preferencias se representan generalmente, y por eso se conocen como preferencias regulares, mediante curvas no lineales, convexas, con pendiente negativa. Las preferencias Cobb Douglas reúnen todas estas características.

Pero una recta de pendiente negativa, también representa curvas de indiferencia cuando se trata de preferencias por bienes sustitutos perfectos. En este caso la perfección reposa en la condición de una tasa subjetiva de cambio constante entre los bienes.

Y en el caso de los bienes complementarios perfectos, la perfección reposa en la proporción constante de uso de los bienes. En este caso, un algoritmo representativo de una curva de indiferencia para bienes complementarios perfectos, cuando la proporción de consumo es la unidad, viene dado por la función:

Este algoritmo matemático se representa mediante curvas de indiferencia en forma de ángulos rectos cuyos vértices se encuentran sobre una diagonal que parte del orígen de coordenadas y tiene un ángulo de inclinación con la horizontal de 45 grados.

Los manuales universitarios se refieren siempre a este algorítmo para inducir a los estudiantes a pensar en los bienes complementarios perfectos. Sin embargo, provocan que los estudiantes consideren que los bienes complementarios perfectos se representan solo de esa manera, cuando la realidad es que se trata de un caso especial: el caso en que los bienes se consumen en una proporción fija de una unidad de un bien con una unidad del otro bien.

Los bienes complementarios perfectos se consumen en una proporción fija, cualquiera que sea esa proporción, y sus curvas de indiferencia se representan por ángulos rectos o agudos u obtusos.

Pero,  ¿pueden representarse curvas de indiferencia con ángulos rectos ubicados en la forma que en el siguiente grafico? Y si la respuesta es afirmativa, ¿cuál sería el algoritmo matemático? ¿Y cómo serían los bienes cuyas preferencias se representan de esta manera?

Aquí tienen un muy bonito resumen del texto Microeconomía Intermedia del Profesor Varian. Está en formato PDF. 75 páginas.

La Universidad Nacional de Río Cuarto, en Argentina, ha publicado este Manual de Econometría. Es un texto de 55 páginas en PDF.