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Un problema de triopolio Cournot

El problema es el siguiente:

Todo el combustible de un país es abastecido por tres empresas que se dedican al negocio de la refinación de los hidrocarburos, donde cada empresa cuenta con un tercio de la participación en el mercado. Según un reciente estudio se ha llegado a la conclusión que estas empresas compiten en cantidades, que las tres empresas actualmente tienen la misma función de costos marginales constantes y además que la demanda de mercado es lineal.

En este sentido, usted ha sido contratado para desarrrollar un modelo que muestre de forma algebraica los mencionados efectos y que después, asumiendo una función de demanda de mercado y funciones de costos especificas, ilustre numéricamente los resultados de su modelo. Explique los resultados

NOTA: su solución debe contemplar un modelo teórico (formas funcioanales) y a partir de esté se deben asumir valores específicos de las variables de su modelo.

El problema se puede modelizar de la siguiente manera.

La demanda de mercado del combustible está representada por la función $P=100-Q$ y existen tres empresas con la siguiente función de costos marginales que atienden el mercado $CMg_{1}=CMg_{2}=CMg_{3}=20$ .

Encontrar el volúmen de producción de cada empresa y el precio del equilibrio del mercado.

La demanda del mercado para la empresa 1 se puede expresar de la siguiente manera $P=(100-Q_{2}-Q_{3})-Q_{1}$ . En consecuencia, el ingreso total será igual a $IT_{1}=100Q_{1}-Q_{1}^{2}-Q_{1}Q_{2}-Q_{1}Q_{3}$ , y el ingreso marginal $IMg_{1}=100-2Q_{1}-Q_{2}-Q_{3}$ .

Y para maximizar el beneficio, la empresa 1 iguala el ingreso marginal con el costo marginal: $IMg_{1}=100-2Q_{1}-Q_{2}-Q_{3}=CMg_{1}=20$ . Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1:

$Q_{1}=40-\frac{Q_{2}}{2}- \frac{Q_{3}}{2}$

Con el mismo procedimiento hallamos las funciones de reacción de la empresa 2 y de la empresa 3:

$Q_{2}=40-\frac{Q_{1}}{2}- \frac{Q_{3}}{2}$
$Q_{3}=40-\frac{Q_{1}}{2}- \frac{Q_{2}}{2}$

Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. La solución de este sistema nos da: $Q_{1}^{*}=Q_{2}^{*}=Q_{3}^{*}=20$ . En consecuencia, las tres empresas llevan al mercado un total de 60 unidades y dada la demanda del mercado, el precio sería 40. Sin considerar los costos fijos de cada empresa, cada empresa está obteniendo un beneficio igual a 40-20=20.

Guillermo Pereyra

20 May, 2009

Microeconomía II, Oligopolio, Problemas

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