Una interesante funciÃ³n de utilidad: sustitutos que parecen complementos

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Una interesante función de utilidad: sustitutos que parecen complementos

May 21st, 2009 by Guillermo Pereyra

Daniel nos ha enviado este muy interesante problema:

Graficar la función de utilidad
$U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$

Parece una función un tanto complicada pero no lo es. Veamos.

Se trata de determinar el nivel de utilidad que generan las combinaciones de los bienes 1 y 2 , $(X_1 , X_2)$ . Para cualquier combinación $(X_1 , X_2)$ , $frac{X_1+X_2}{3}$ queda determinado, y el nivel de utilidad es el valor mínimo entre los valores de $X_1$ , $X_2$ y $frac{X_1+X_2}{3}$ .

Si $(X_1 , X_2)$ fuera una combinación de esquina, entonces el nivel de utilidad es cero porque $frac{X_1+X_2}{3}$ siempre será mayor que cero. En el siguiente cuadro se aprecian posibles combinaciones de esquina:

Si el bien 1 es cero y el bien 2 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. si el bien 2 es cero y el bien 1 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. La conclusión, es que para esta función de utilidad, las combinaciones de esquina no generan ningún nivel de utilidad y la curva de indiferencia que las representa es el cuadrante positivo de las cantidades del bien 1 y del bien 2.

Si las combinaciones $(X_1 , X_2)$ fueran interiores, es decir, si el consumidor prefiere cantidades positivas de cada uno de los bienes, el nivel de utilidad queda determinado por $frac{X_1+X_2}{3}$ siempre que
$frac{X_1+X_2}{3}leq X_1$ o también siempre que
$frac{X_1+X_2}{3}leq X_2$ .

Para estos casos el nivel de utilidad se corresponde con el de bienes sustitutos perfecto. El siguiente cuadro muestra algunas combinaciones.

Si hacemos $frac{X_1+X_2}{3}=U=1$ , obtenemos todas las combinaciones de los bienes 1 y 2 que generan un nivel de utilidad de 1. La utilidad obtenida es igual a 2 para las combinaciones donde $frac{X_1+X_2}{3}=U=2$ . Y para las combinaciones donde $frac{X_1+X_2}{3}=U=3$ y para las combinaciones donde $frac{X_1+X_2}{3}=U=4$ y para las combinaciones donde $frac{X_1+X_2}{3}=U=5$ . En todos los casos se trata de líneas rectas de pendiente positiva donde la TSC es igual a la unidad.

En consecuencia, para la función de utilidad
$U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$
la utilidad es cero cuando se trata de combinaciones de esquina y es $U=X_1+X_2$ para combinaciones interiores. El gráfico que sigue muestra algunas de estas curvas de indiferencia.

Finalmente, para cantidades positivas de los bienes 1 y 2 tales que siempre son mayores al tercio de su suma, el nivel de utilidad sigue siendo el tercio de su suma y son sustitutos perfectos a una TSC igual a la unidad.

Sin considerar las combinaciones de esquina, la conclusión más importante de este problema es, que la función de utilidad $U=frac{X_1+X_2}{3}$ es una transformación monótona de la función de utilidad
$U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }$

Y otra conclusión importante en términos de preferencias, es que el consumidor está dispuesto a sustituir a una tasa constante una cantidad de un bien para tener una unidad adicional del otro bien y mantenerse sobre el mismo nivel de utilidad, pero no está dispuesto a prescindir de uno de los bienes.