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Una interesante función de utilidad: sustitutos que parecen complementos
May 21st, 2009 by Guillermo Pereyra

  Daniel nos ha enviado este muy interesante problema:

Graficar la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }
 
Parece una función un tanto complicada pero no lo es. Veamos.

Se trata de determinar el nivel de utilidad que generan las combinaciones de los bienes 1 y 2 , (X_1 , X_2). Para cualquier combinación (X_1 , X_2) , frac{X_1+X_2}{3} queda determinado, y el nivel de utilidad es el valor mínimo entre los valores de X_1 , X_2 y frac{X_1+X_2}{3}.

Si (X_1 , X_2) fuera una combinación de esquina, entonces el nivel de utilidad es cero porque frac{X_1+X_2}{3} siempre será mayor que cero. En el siguiente cuadro se aprecian posibles combinaciones de esquina:

Si el bien 1 es cero y el bien 2 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. si el bien 2 es cero y el bien 1 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. La conclusión, es que para esta función de utilidad, las combinaciones de esquina no generan ningún nivel de utilidad y la curva de indiferencia que las representa es el cuadrante positivo de las cantidades del bien 1 y del bien 2.

Si las combinaciones (X_1 , X_2) fueran interiores, es decir, si el consumidor prefiere cantidades positivas de cada uno de los bienes, el nivel de utilidad queda determinado por frac{X_1+X_2}{3} siempre que
frac{X_1+X_2}{3}leq X_1 o también siempre que
frac{X_1+X_2}{3}leq X_2.

Para estos casos el nivel de utilidad se corresponde con el de bienes sustitutos perfecto. El siguiente cuadro muestra algunas combinaciones.

Si hacemos frac{X_1+X_2}{3}=U=1, obtenemos todas las combinaciones de los bienes 1 y 2 que generan un nivel de utilidad de 1. La utilidad obtenida es igual a 2 para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=2. Y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=3 y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=4 y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=5. En todos los casos se trata de líneas rectas de pendiente positiva donde la TSC es igual a la unidad.

En consecuencia, para la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }
la utilidad es cero cuando se trata de combinaciones de esquina y es U=X_1+X_2 para combinaciones interiores. El gráfico que sigue muestra algunas de estas curvas de indiferencia.

Finalmente, para cantidades positivas de los bienes 1 y 2 tales que siempre son mayores al tercio de su suma, el nivel de utilidad sigue siendo el tercio de su suma y son sustitutos perfectos a una TSC igual a la unidad.

Sin considerar las combinaciones de esquina, la conclusión más importante de este problema es, que la función de utilidad U=frac{X_1+X_2}{3} es una transformación monótona de la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }

Y otra conclusión importante en términos de preferencias, es que el consumidor está dispuesto a sustituir a una tasa constante una cantidad de un bien para tener una unidad adicional del otro bien y mantenerse sobre el mismo nivel de utilidad, pero no está dispuesto a prescindir de uno de los bienes.


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