Minimización de costos con una función de producción de 4 factores

Casi al termino de la última clase de Microeconomía I, la semana pasada, se presentó una controversia muy interesante alrededor de un problema de minimización de costos. El Profesor, yo mismo, tenía una respuesta y Daniel, Alumno, una diferente. El tema no quedó completamente aclarado y Daniel insistió conmigo por unos minutos más luego de la clase. Le dije a Daniel que su respuesta me parecía interesante y que  me deje tiempo para revisarla. Y luego de revisarla  la conclusión es contundente: Daniel tenía razón. El problema es el número 5 de la PD No. 8.

Tenemos el vector de factores y el vector de precios de los factores y se trata de estimar el costo total de largo plazo para producir una unidad considerando diferentes funciones de producción como escenarios alternativos. El problema es interesante porque al encontrar el costo total también encontramos el costo medio cuando la producción es una unidad.

En el primer escenario, la función de producción es , la función de producción de Leontief o de factores complementarios perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es . La forma de la isocuanta, es la de un ángulo recto cuyo vértice descansa sobre la función , que además, representa la ruta de expansión de la producción. Cualesquiera que sean los precios de los factores 1 y 2, la demanda de los factores 1 y 2 se encuentra sobre éste vertice para producir una unidad. Es decir . En consecuencia, el costo total de largo plazo viene a ser igual a . Y el costo medio es también igual a 5 unidades monetarias. La ecuación del mapa de isocostos es , es decir .  Y la isocosto que minimiza los costos para producir una unidad es .

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. La demanda de los factores 1 y 2 se encuentran sobre el vértice de la isocuanta y sobre la ruta de expansión y sobre la recta isocosto.

Veamos ahora el segundo escenario. La función de producción es , la función de producción de  factores sustitutos perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es , o también . La tasa técnica de sustitución de factores, TTSF, es -0.5. Es decir, para seguir produciendo una unidad empleando una unidad adicional del factor 3 (en el eje horizontal) tenemos que emplear -0.5 unidades menos del factor 4 (en el eje vertical).  Entonces la forma de la isocuanta es la de un línea recta de pendiente negativa igual a -0.5.

El mapa de isocostos tiene la siguiente función y reemplazando el precio de los factores, . Y despejando el factor 4 en términos del 3 tenemos . Lo que significa que la pendiente de las isocostos es -1.5, mayor a la pendiente de la isocuanta, -0.5.

Técnicamente, una unidad del factor 3 se sustituye por 0.5 unidades del factor 4, pero en el mercado una unidad del factor 3 cuesta 1.5 unidades del factor 4. Es decir, el factor 3 es muy caro y entonces debemos trabajar sólo con el factor 4. Por lo tanto la solución de minimización de costos es una solución de esquina: . Reemplazando este resultado en la isocuanta de producción, tenemos  y entonces .

Este resultado lo reemplazamos en la función isocosto y tenemos .  Entonces la recta isocosto que minimiza el costo de producir una unidad está dada por , es decir .

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. Es una solución de esquina. En la medida que el factor 3 es muy caro, se produce una unidad con sólo el empleo del factor 4. La recta de color azul representa la recta de isocosto que minimiza el costo de producir 1 unidad. La recta de color marrón muestra la isocuanta de producción para producir 1 unidad.

Veamos ahora el último escenario. La función de producción es , la función de producción de Leontief o de factores complementarios perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es . El vértice que contiene las demandas de los factores 1, 2, 3 y 4 para producir una unidad, se encuentra en la ecuación . Es decir, y . Estas últimas expresiones representan la isocuanta para producir una unidad cuando empleamos los factores 1 y 2, y la isocuanta para producir una unidad cuando empleamos los factores 3 y 4. Entonces los factores 1 y 2 son sustitutos perfectos entre sí, y también lo son los factores 3 y 4. Como conocemos el véctor de precios de los factores, podemos comparar la TTSF de cada función de producción, con la pendiente de las rectas de isocosto, para decidir por la demanda minimizadora de costos de cada uno de los factores.

La TTSF es igual a -1 para los factores 1 y 2. La pendiente de las rectas de isocosto para los factores 1 y 2 es . Y como esta pendiente es mayor, en valor absoluto a -1, el factor 1 es muy caro y la solución es de esquina trabajando sólo con el factor 2.

La TTSF es igual a -1 para los factores 3 y 4. La pendiente de las rectas de isocosto para los factores 3 y 4 es . Y como esta pendiente es mayor, en valor absoluto a -1, el factor 3 es muy caro y la solución es de esquina trabajando sólo con el factor 4.

La isocuanta que produce una unidad con los factores 1 y 2 es y entonces . La isocuanta que produce una unidad con los factores 3 y 4 es y entonces .

Y la isocuanta para producir una unidad con los factores 1, 2, 3 y 4 es , es decir . Por lo tanto  . Esta función es de Leontief, de factores complementarios perfectos.  La demanda de factores es 1 unidad del factor 2 y unidad del factor 4. El costo total será entonces . Es decir . Y el costo medio sería igual a 3 unidades monetarias.

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. El grafico de arriba a la izquierda muestra los factores sustitutos perfectos, 3 y 4. Como la pendiente de la isocosto es mayor que la pendiente de la isocuanta, para minimizar costos se decide producir con el factor 4. El grafico de abajo a la derecha muestra los factores sustitutos perfectos, 1 y 2. Como la pendiente de la isocosto es mayor que la pendiente de la isocuanta, para minimizar costos se decide producir con el factor 2. Como los factores 1 y 2 son complementarios de los factores 3 y 4, el grafico de arriba a la derecha muestra la isocuanta para producir una unidad con forma de L. En el eje horizontal se miden las cantidades del factor 2 y en el eje vertical las cantidades del factor 4. La combinación de factores minimizadora de costos es (1 , 1) y el costo total y costo medio 3 unidades monetarias.