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Minimización de costos con una función de producción de 4 factores
July 5th, 2009 by Guillermo Pereyra

Casi al termino de la última clase de Microeconomía I, la semana pasada, se presentó una controversia muy interesante alrededor de un problema de minimización de costos. El Profesor, yo mismo, tenía una respuesta y Daniel, Alumno, una diferente. El tema no quedó completamente aclarado y Daniel insistió conmigo por unos minutos más luego de la clase. Le dije a Daniel que su respuesta me parecía interesante y que  me deje tiempo para revisarla. Y luego de revisarla  la conclusión es contundente: Daniel tenía razón. El problema es el número 5 de la PD No. 8.

 

Tenemos el vector de factores y el vector de precios de los factores y se trata de estimar el costo total de largo plazo para producir una unidad considerando diferentes funciones de producción como escenarios alternativos. El problema es interesante porque al encontrar el costo total también encontramos el costo medio cuando la producción es una unidad.

En el primer escenario, la función de producción es q=min\left \{ X_1 , X_2 \right \}, la función de producción de Leontief o de factores complementarios perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es 1=min\left \{ X_1 , X_2 \right \}. La forma de la isocuanta, es la de un ángulo recto cuyo vértice descansa sobre la función X_2=X_1, que además, representa la ruta de expansión de la producción. Cualesquiera que sean los precios de los factores 1 y 2, la demanda de los factores 1 y 2 se encuentra sobre éste vertice para producir una unidad. Es decir X_1*=X_2*=1. En consecuencia, el costo total de largo plazo viene a ser igual a CT=W_1 X_1 + W_2 X_2 =4*1+1*1=5. Y el costo medio es también igual a 5 unidades monetarias. La ecuación del mapa de isocostos es CT=4X_1 + X_2, es decir X_2=CT-4X_1.  Y la isocosto que minimiza los costos para producir una unidad es X_2=5-4X_1.

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. La demanda de los factores 1 y 2 se encuentran sobre el vértice de la isocuanta y sobre la ruta de expansión y sobre la recta isocosto.

 

Veamos ahora el segundo escenario. La función de producción es q=X_3 + 2X_4, la función de producción de  factores sustitutos perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es 1=X_3 + 2X_4, o también X_4=0.5-0.5 X_3. La tasa técnica de sustitución de factores, TTSF, es -0.5. Es decir, para seguir produciendo una unidad empleando una unidad adicional del factor 3 (en el eje horizontal) tenemos que emplear -0.5 unidades menos del factor 4 (en el eje vertical).  Entonces la forma de la isocuanta es la de un línea recta de pendiente negativa igual a -0.5.

El mapa de isocostos tiene la siguiente función CT=W_3 X_3 + W_4 X_4 y reemplazando el precio de los factores, CT=3X_3 + 2 X_4. Y despejando el factor 4 en términos del 3 tenemos X_4=0.5CT-1.5X_3. Lo que significa que la pendiente de las isocostos es -1.5, mayor a la pendiente de la isocuanta, -0.5.

Técnicamente, una unidad del factor 3 se sustituye por 0.5 unidades del factor 4, pero en el mercado una unidad del factor 3 cuesta 1.5 unidades del factor 4. Es decir, el factor 3 es muy caro y entonces debemos trabajar sólo con el factor 4. Por lo tanto la solución de minimización de costos es una solución de esquina: (X_3* , X_4*)=(0 , X_4*). Reemplazando este resultado en la isocuanta de producción, tenemos  1=0 + 2X_4 y entonces X_4*=0.5.

Este resultado lo reemplazamos en la función isocosto y tenemos CT=3X_3 + 2 X_4=3*0 + 2*0.5=1.  Entonces la recta isocosto que minimiza el costo de producir una unidad está dada por 1=3X_3+2X_4, es decir X_4=0.5-1.5X_3 .

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. Es una solución de esquina. En la medida que el factor 3 es muy caro, se produce una unidad con sólo el empleo del factor 4. La recta de color azul representa la recta de isocosto que minimiza el costo de producir 1 unidad. La recta de color marrón muestra la isocuanta de producción para producir 1 unidad.

 

Veamos ahora el último escenario. La función de producción es q=min\left \{ X_1 + X_2 , X_3 + X_4 \right \}, la función de producción de Leontief o de factores complementarios perfectos. La isocuanta de producción cuando la meta de producción es una unidad, es 1=min\left \{ X_1 + X_2 , X_3 + X_4 \right \}. El vértice que contiene las demandas de los factores 1, 2, 3 y 4 para producir una unidad, se encuentra en la ecuación X_1 + X_2 = X_3 + X_4 =1. Es decir, X_1 + X_2=1 y X_3 + X_4=1. Estas últimas expresiones representan la isocuanta para producir una unidad cuando empleamos los factores 1 y 2, y la isocuanta para producir una unidad cuando empleamos los factores 3 y 4. Entonces los factores 1 y 2 son sustitutos perfectos entre sí, y también lo son los factores 3 y 4. Como conocemos el véctor de precios de los factores, podemos comparar la TTSF de cada función de producción, con la pendiente de las rectas de isocosto, para decidir por la demanda minimizadora de costos de cada uno de los factores.

La TTSF es igual a -1 para los factores 1 y 2. La pendiente de las rectas de isocosto para los factores 1 y 2 es -W_1/W_2=4/1=-4. Y como esta pendiente es mayor, en valor absoluto a -1, el factor 1 es muy caro y la solución es de esquina trabajando sólo con el factor 2.

La TTSF es igual a -1 para los factores 3 y 4. La pendiente de las rectas de isocosto para los factores 3 y 4 es -W_3/W_4=3/2=-1.5. Y como esta pendiente es mayor, en valor absoluto a -1, el factor 3 es muy caro y la solución es de esquina trabajando sólo con el factor 4.

La isocuanta que produce una unidad con los factores 1 y 2 es 0 + X_2=1 y entonces X_2*=1. La isocuanta que produce una unidad con los factores 3 y 4 es 0 + X_4=1 y entonces X_4*=1.

Y la isocuanta para producir una unidad con los factores 1, 2, 3 y 4 es 1=min\left \{ X_1 + x_2 , X_3 + x_4 \right \}, es decir 1=min\left \{ 0 + x_2* , 0 + x_4* \right \}. Por lo tanto  1=min\left \{ 1 , 1 \right \}. Esta función es de Leontief, de factores complementarios perfectos.  La demanda de factores es 1 unidad del factor 2 y unidad del factor 4. El costo total será entonces CT=W_1X_1 +W_2X_2+ W_3X_3+W_4X_4. Es decir CT=W_2X_2+W_4X_4=1*1+2*1=3. Y el costo medio sería igual a 3 unidades monetarias.

El siguiente grafico muestra los resultados obtenidos. El grafico de arriba a la izquierda muestra los factores sustitutos perfectos, 3 y 4. Como la pendiente de la isocosto es mayor que la pendiente de la isocuanta, para minimizar costos se decide producir con el factor 4. El grafico de abajo a la derecha muestra los factores sustitutos perfectos, 1 y 2. Como la pendiente de la isocosto es mayor que la pendiente de la isocuanta, para minimizar costos se decide producir con el factor 2. Como los factores 1 y 2 son complementarios de los factores 3 y 4, el grafico de arriba a la derecha muestra la isocuanta para producir una unidad con forma de L. En el eje horizontal se miden las cantidades del factor 2 y en el eje vertical las cantidades del factor 4. La combinación de factores minimizadora de costos es (1 , 1) y el costo total y costo medio 3 unidades monetarias.


8 Responses  
  • RONALD writes:
    July 8th, 200910:49 amat

    muy buena acotacion, felicitaciones a daniel…
    una pregunta
    si los precios de los factores fueran (1,2,3,6) y la función de producción q= X3+2(X4) ….. Ahí la TTSFy la relación de precios de los factores seria igual… ¿cómo evalúo x3 y x4 para obtener el costo mínimo de producir una unidad de producción?

    EN LA PRACTICA, ESA PREGUNTA LO RESPONDI CON MUY MUY POCA CONSISTENCIA… DE REPENTE HASTA EQUIVOCADA…. ES OBVIO QUE NO ES SOLUCION DE ESQUINA…YA QUE ESTAMOS EN UNA SITUACION DE IGUALDAD EN LA TASA DE SUSTITUCION Y RELACION DE PRECIOS…

  • Guillermo Pereyra writes:
    July 8th, 20092:18 pmat

    Como las tasas técnicas y de cambio en el mercado son las mismas, cualquier combinación sobre la isocuanta, que ahora es igual a la isocosto, es una solución minimizadora de costos. Puedes ver el solucionario en el web.

    Saludos.

  • RONALD writes:
    July 8th, 20099:01 pmat

    GRACIAS PROFESOR…. Y UN PEQUEÑISIMO PEDIDO: ¿PUEDE PUBLICAR EN LA WEB EL SOLUCIONARIO DEL 2DO EXAMEN PARCIAL? SI Y SOLO SI TUVIESE TIEMPO…
    YA QUE EN EL 1ER EXAMEN SE PUDO ACCEDER A SU SOLUCIONARIO..
    NUEVAMENTE GRACIAS POR LA AYUDA Y SERA HASTA UNA PROXIMA OPORTUNIDAD

  • Maria writes:
    March 24th, 20109:21 pmat

    Profesor, en caso de la funcion de produccion Leontief, como se interpreta la Tasa de Sustitucion? 

  • Roulette Strategie writes:
    June 13th, 20125:45 pmat

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  • Roberto writes:
    August 11th, 20123:42 pmat

    Estimado profesor, me gustaria saber como puedo correr una funcion de costos en stata 11.0. Es necesario hacer transformaciones logaritmicas a las variables??

  • préstamos rápidos writes:
    March 1st, 20135:13 amat

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    Consulta: La funcion de produccion de complementos perfectos muestra una serie de combinaciones de las cuales los factores productivos son perfectamente sustituibles, el uno del otro?


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