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Un problema de “triopolio”: Modelo Cournot

Feb 21st, 2009 by Guillermo Pereyra

Este problema fue enviado por Rubén:

Calcule el precio, la cantidad y los beneficios de tres empresas que actúan en un mercado homogéneo sabiendo que la curva de demanda del bien es:

$Q= 46-P$

y que compiten en cantidades (equilibrio de Cournot). La función de costes es la misma para las tres empresas.

$CT_{i}=18-2Q_{i}+Q_{i}^{2}$

Esta curva de costos totales tiene forma de "U" como se puede apreciar en el siguiente grafico. No es un comportamiento esperado para los costos de producción de una empresa. Al comienzo los costos totales decrecen, lo que resulta muy curioso.

Para pequeños niveles de producción los costos son decrecientes, llegan a un costo mínimo y luego crecen. La conducta de los costos totales debería ser creciente; mientras más se produce más cuesta producir. Pero asumiendo que fuera así, la conducta del costo marginal de cada empresa sería lineal, pero con un tramo negativo (que explica el tramo decreciente del costo total). .

$CMg_{i}=2Q_{i}-2$

Teniendo en cuenta estas observaciones, vamos a buscar la solución al "triopolio" a la Cournot. Primero buscamos las funciones de reacción de cada empresa. Para ello estimamos la demanda residual de cada una. Empezamos por la empresa 1:

$P=46-Q_{3}-Q_{2}-Q_{1}$

La demanda de la empresa 1 depende de cuánto ha colocado la empresa 2 y 3 en el mercado. Los ingresos por ventas de la empresa 1 son

$IT_{1}=46Q_{1}-Q_{1}Q_{3}-Q_{1}Q_{2}-Q_{1}^{2}$

Y el ingreso marginal de la empresa 1 es

$IMg_{1}=46-Q_{3}-Q_{2}-2Q_{1}$

Ahora igualamos el ingreso marginal de la empresa 1 con su costo marginal

$46-Q_{3}-Q_{2}-2Q_{1}=2Q_{1}-2$

Y obtenemos la función de reacción de la empresa 1

$Q_{1}=12-\frac{Q_{2}}{4}-\frac{Q_{3}}{4}$

Siguiendo el mismo el mismo procedimiento para la empresa 2 y para la empresa 3 se encuentras sus respectivas funciones de reacción

$Q_{2}=12-\frac{Q_{1}}{4}-\frac{Q_{3}}{4}$

$Q_{3}=12-\frac{Q_{1}}{4}-\frac{Q_{2}}{4}$

Resolviendo estas tres ecuaciones, se llega a la solución Cournot

$Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=8$

Y las ventas totales en el mercado son

$Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=24$

Con un precio igual a

$P=46-24=22$

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Un problema de Oligopolio: modelo Cournot

Feb 20th, 2009 by Guillermo Pereyra

Rubén nos envía este problema:

Un mercado presenta una función de demanda

$P = 1000 - Q$

En él trabajan dos oligopolistas cuyas funciones de costes respectivas son las siguientes:

$CT_{1}=10+130Q_{1}$

$CT_{2}=10+170Q_{2}$

Se pide calcular las respectivas funciones de reacción, y la cantidad que cada uno suministra si siguen un modelo de Cournot.

Los costos marginales de cada duopolista son constantes

$CMg_{1}=130$

$CMg_{2}=170$

Para encontrar la solución a la Cournot, vamos a analizar primero, la conducta estratégica de la empresa 1. Como la demanda del mercado es

$P = 1000 - Q$

La demanda residual de la empresa 1 es

$P=1000-Q_{2}-Q_{1}$

Y el ingreso total es

$IT_{1} = 1000Q_{1} - Q_{1} Q_{2}-Q_{1}^{2}$

Y el ingreso marginal es

$IMg_{1} = 1000- Q_{2}-2Q_{1}$

Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos

$1000- Q_{2}-2Q_{1}=130$

Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1

$Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$

Seguimos el mismo procedimiento para obtener la función de reacción de la empresa 2:

La demanda residual de la empresa 2 es

$P=1000-Q_{1}-Q_{2}$

Y el ingreso total es

$IT_{2} = 1000Q_{2} - Q_{1} Q_{2}-Q_{2}^{2}$

Y el ingreso marginal es

$IMg_{2} = 1000- Q_{1}-2Q_{2}$

Ahora igualamos el ingreso marginal con el costo marginal y obtenemos

$1000- Q_{1}-2Q_{2}=170$

Y de aquí obtenemos la función de reacción de la empresa 1

$Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$

En el siguiente grafico se muestran las funciones de reacción de los duopolistas. El punto de intersección entre ellas es el equilibrio Cournot. Resolviendo las ecuaciones de las funciones de reacción

$Q_{1}=435-\frac{Q_{2}}{2}$

$Q_{2}=415-\frac{Q_{1}}{2}$

Se obtiene $Q_{1}=303.33$ y $Q_{2}=263.33$ y $Q=566.66$ y el precio de venta sería $P=1000-566.66=433.33$

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