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Un problema de equilibrio general con intercambio puro
Mar 10th, 2009 by Guillermo Pereyra

 

La función de preferencias del consumidor A está dada por U_{A}=X_{1}X_{2}, y la función de preferencias del consumidor B está dada por U_{B}=X_{1}^{\frac{1}{2}}X_{2}^{\frac{1}{2}}. Si el consumidor A cuenta con una disposición inical de los bienes 1 y 2 igual a A(15, 5) y si el consumidor B cuenta con una disposición inical de los bienes 1 y 2 igual a B(5, 15).

  • Construya la caja de Edgeworth
  • Estime la tasa subjetiva de cambio (TSC) para el consumidor A y B en la combinación de los bienes 1 y 2 que dispone actualmente. ¿Cómo son estas tasas? ¿Tiene sentido el intercambio de los bienes 1 y 2 entre A y B? ¿Por qué?
  • Grafique las curvas de indiferencia donde se encuentran actualmente A y B y estime los niveles de utilidad obtenidos.
  • Busque una combinación diferente de los bienes 1 y 2 para A y B, resultante del intercambio libre entre ellos y donde ambos se encuentren mejor.
  • Grafique el área donde el intercambio es factible entre A y B en el sentido que ambos pueden estar mejor, o al menos uno de ellos esté mejor sin que el otro esté peor.
  • Encuentre la combinación de los bienes 1 y 2 para A y B tales que las TSC sean iguales. Grafique los resultados encontrados.
  • Si el precio del bien 1 es igual al precio del bien 2, encuentre el óptimo de Pareto.

 Las disposiciones iniciales de A y B de los bienes 1 y 2, representan un total de 20 unidades para el bien 1 y 20 unidades para el bien 2. La caja de Edgeworth es un cuadrado de lado 20. En el vértice inferior izquierdo se pueden medir las cantidades de los bienes para A, y en el vértice superior derecho, se pueden medir las cantidades de los bienes para B.  Las cantidades del bien 1 y del bien 2 para A se leen a la derecha y arriba, respectivamente, del vértice inferior izquierdo. Las cantidades del bien 1 y 2 para B se leen a la izquierda y abajo, respectivamente, del vértice superior derecho.

La TSC para el consumidor A es \frac{\frac{\partial U_{A}}{\partial x_1}}{\frac{\partial U_{A}}{\partial x_2}}=\frac{X_2}{X_1}=\frac{5}{15}=0.33, . La TSC para el consumidor B es \frac{\frac{\partial U_{B}}{\partial x_1}}{\frac{\partial U_{B}}{\partial x_2}}=\frac{X_2}{X_1}=\frac{15}{5}=3. La TSC para A en la combinación inicial es 0.33. La TSC para B en la combinación inicial es 3. La TSC para A es mucho menor que la TSC para B, lo que significa que A valora mucho el bien 2 mientras que B valora mucho el bien 1. Esto significa que A está dispuesto a intercambiar unidades del bien 1 para obtener unidades adicionales del bien 2 y que B está dispuesto a intercambiar unidades del bien 2 para obtener unidades adicionales del bien 1. En el grafico que sigue, se aprecia la disposición inicial de A y B de los bienes 1 y 2 .

En la combinación inicial de A (15, 5), la TSC es 0.33 y queda representada por la línea azul. En la combinación inicial de B (5, 15), la TSC es 3 y queda representada por la línea naranja. La curva de indiferencia de color verde, tangente con la recta azul, representa un nivel de utilidad de 75 para A. La curva de indiferencia de color mostaza, tangente con la recta naranja, representa un nivel de utilidad de 8.66 para B.

Como B está dispuesto a ofrecer hasta 3 unidades del bien 2 por una unidad adicional del bien 1, le puede ofrecer a A dos unidades del bien 2 a cambio de 1 unidad del bien 1 y B se encontraría mejor que antes. Y como A está dispuesto a ofrecer hasta 3 unidades del bien 1 a cambio de una unidad del bien 2, (su TSC de unidades del bien 1 por unidades del bien 2, es la inversa de 0.33) aceptaría gustoso entregar una unidad del bien 1 a cambio de 2 del bien 2 y A estaría mejor que antes. La combinación inicial de A es (15, 5) y l e entrega a B, 2 unidades del bien 1 a cambio de una unidad del bien 2, y llega a la combinación (13, 6) que le genera una utilidad de 78. Con este cambio, A está mejor.

La combinación inicial de B es (5, 15) y le entrega a A, 1 unidad del bien 2 a cambio de 2 unidades del bien 1, y llega a la combinación (7, 14) que le genera una utilidad de 9.89. Con este cambio, B está mejor. El siguiente grafico muestra cómo el intercambio les permite a A y B estar mejor que antes.

La nueva combinación para A (13, 6) y para B (7, 14) es una de muchas combinaciones donde A y B pueden estar mejor mediante el intercambio. El área cerrada formada por la intersección de las curvas de indiferencia donde se encuentran A y B muestran todas las posibilidades de intercambio donde A y B pueden estar mejor . El grafico que sigue muestra esta área en color amarillo. Las combinaciones en el contorno de esta área representan combinaciones donde uno de los consumidores está mejor y el otro no está peor. Por ejemplo, las combinaciones sobre el contorno formado por la curva de indiferencia de color verde, representan una mejora para B mientras que A sigue con el mismo nivel de utilidad.

Las posiblidades del intercambio están abiertas mientras las TSC de cambio sean diferentes para A y B.

 

 

Si las TSC fueran iguales, entonces TSC_{A}=TSC_{B}, es decir \frac{{X_2}_A}{X_1_A}=\frac{{X_2}_B}{X_1_B}. Ésta es una ecuación ccon cuatro incógnitas. Sin embargo, tenemos que considerar también las siguientes relaciones:  {X_1_A}+{X_1_B}=20 , y {X_2_A}+{X_2_B}=20. Es decir, la cantidad del bien 1, 20 unidades, es igual a la cantidad que está en manos de A más la cantidad que está en manos de B. Y lo mismo ocurre con la cantidad del bien 2, 20 unidades, es igual a la cantidad que está en manos de A más la cantidad que está en manos de B.

En consecuencia, tenemos tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Resolviendo este sistema de ecuaciones se llega a {X_2_A}={X_1_A} , o también a {X_2_B}={X_1_B}. Se trata de una función líneal de pendiente positiva que se inclina 45 grados sobre la horizontal. Es decir, es la diagonal del orígen A al orígen B de la Caja de Edgeworth. El grafico que sigue muestra el resultado obtenido. las combinaciones de los bienes 1 y 2 sobre la diagonal, representan combinaciones donde la TSC es igual para A y B. El conjunto de estas combinaciones se conoce como Curva de Contrato. Cada una de las combinaciones en la curva de contrato representan una combinación eficiente en el sentido de Pareto. Como las TSC son iguales, no hay espacio para el intercambio que pueda mejorar a los dos consumidores, o mejorar a uno de ellos sin perjudicar al otro. Si encontrándose sobre una combinación en la curva de contrato, alguien mejora, es bajo la condición que el otro empeora.

Si bien cada combinación sobre la curva de contrato es una combinación eficiente en el sentido de Pareto, no significa necesariamente que se trate de una combinación que cumpla con criterios de equidad. Es decir, se puede ser eficiente sin equidad y, caso contrario, se puede ser ineficiente con equidad. El tema de la equidad es un tema que corresponde a la economía normativa y que va a depender de la función de bienestar social que elijamos.

 

Si ahora queremos escoger entre las combinaciones sobre la curva de contrato a la óptima en el sentido de Pareto, tenemos que considerar el sistema de precios de la economía. No son necesarios los precios absolutos, pero sí los precios relativos. En este ejemplo, se sabe que \frac{P_1}{P_2}=1 . El óptimo de Pareto se debe encontrar sobre la curva de contrato, donde las TSC de A y B son iguales pero además dichas TSC deben ser iguales al precio relativo de los bienes. Es decir TSC_A=TSC_B=\frac{P_1}{P_2}=1. En otras palabras \frac{X_2_A}{X_1_A}=\frac{X_2_B}{X_1_B}=\frac{P_1}{P_2}=1. Es decir, X_1_A=X_1_B=X_2_A=X_2_B pero como las cantidades del bien 1 y el bien 2 son conocidas, entonces X_1_A=X_1_B=X_2_A=X_2_B=10. El grafico que sigue muestra el óptimo de Pareto.

En consecuencia la combinación final para A es (10, 10) que le genera una utilidad de 100, y la combinación final para B es (10, 10) que le genera una utilidad de 10. Ambos han mejorado en relación a la combinación inicial, ambos han logrado alcanzar el máximo nivel de utilidad. Ninguno de ellos puede estar mejor sin empeorar la situación del otro. Además, si consideramos que la equidad implica la distribución de los bienes de manera equitativa, esta combinación es eficiente y equitativa.

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