Más sobre las preferencias de bienes complementarios perfectos

Las preferencias sobre bienes complementarios perfectos se representan por curvas de indiferencia en forma de L (de ángulo recto) y responden a funciones de utilidad del tipo U =mín(AX₁, BX₂), donde A, B y X_i son valores no negativos. Sin embargo, no necesariamente tienen que estar representadas mediante esta forma. Pueden también ser representadas por otro tipo de formatos. Aquí queremos referirnos a funciones de utilidad del tipo U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁).

La costumbre nos ha hecho pensar que como los bienes complementarios perfectos se consumen en una proporción fija, entonces las combinaciones que se alejan de esta proporción, con más de uno de los bienes y la misma cantidad del otro, no generan mayor utilidad. Así, dada la proporción fija de los bienes, una combinación que responda a esta proporción se ubica, gráficamente, en el vértice de la curva de indiferencia y nos genera un cierto nivel de utilidad. Si nos desplazamos a la derecha, para tener más unidades del bien en el eje horizontal con las mismas cantidades del bien en el eje vertical, la utilidad final es siempre la misma. Y lo mismo ocurre en la otra dirección: Si nos desplazamos hacia arriba, para tener más unidades del bien en el eje vertical con las mismas cantidades del bien en el eje horizontal, la utilidad final es siempre la misma. Y esto es perfectamente lógico.

Por ejemplo, si pensamos en el famoso e inútil ejemplo típico, zapato izquierdo y zapato derecho, es claro que la combinación de un zapato izquierdo con uno derecho nos genera una cierta satisfacción. Y que esta satisfacción no crece en nada si tenemos más zapatos derechos o más zapatos izquierdos. La razón es simple: se ha roto la proporción en el consumo. En este caso, la proporción es la unidad. Esta unidad es igual a la cantidad de bienes en el eje vertical, dividida entre la cantidad de bienes en el eje horizontal. Es decir, el consumidor obtiene utilidad si consume los bienes en las mismas cantidades.

Y para el caso más general, U =mín(AX₁, BX₂), las curvas de indiferencia en forma de L siguen siendo las únicas que representan a estos bienes. En este caso, general, la proporción fija en que se combinan los bienes, se obtiene haciendo AX₁ = BX₂ y luego despejando para X₂: X₂ = (A/B)X₁. Esta ecuación se representa gráficamente mediante un rayo con pendiente positiva e igual a (A/B). Cualquier punto sobre este rayo es el vertice de una curva de indiferencia que representa a la función de utilidad. Si, por ejemplo, A es 2 y B es 1, entonces (A/B)=2 y  X₂ = 2X₁ , y tenemos un rayo con pendiente positiva igual a 2. Una combinación de los bienes 1 y 2 sobre este rayo es, por ejemplo, (2, 4). La proporción fija en que se combinan los bienes es 2 unidades del bien 2 por cada unidad del bien 1. Una función de utilidad asociada a estas preferencias es, por ejemplo: U =mín(2X₁, X₂), y con la combinación (2, 4) se obtiene una utilidad total de 4.

Si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (2, 5), la utilidad obtenida … sigue siendo 4. Y si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (3, 4), la utilidad obtenida… sigue siendo 4. Vale decir, la combinación (2, 4) es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de 4, y cualquier combinación a la derecha del vertice o arriba del vertica no añade utilidad alguna.

La conclusión hasta aquí es que las funciones de utilidad del tipo U =mín(AX₁, BX₂) se representan mediante curvas de indiferencia en forma de L  porque los bienes 1 y 2 se combinan siempre en una proporción fija que está representada por el vértice de la L. Y que, en consecuencia, estos bienes son complementarios perfectos.

Pero, ¿cómo se representan graficamente las funciones de utilidad del tipo U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁)?

En el caso de la función de utilidad U =mín(AX₁, BX₂), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX₁= BX₂, es decir, dado X₁ ,  X₂ es  (A/B)X₁ , y entonces la utilidad que se obtiene con esta combinación es U =mín(AX₁, B(A/B)X₁)= AX₁. Y todas las combinaciones que representan este nivel de utilidad están sobre la recta U =  AX_{1 ,}  o, que es lo mismo, X₁=U/A. Esta última función se representa graficamente como una línea vertical que empieza a una altura sobre el eje horizontal igual a X₂=U/B (recuerde que AX₁= BX₂).

Pero X₂=U/B es, a su vez, una función que se representa graficamente por una línea horizontal que empieza a una distancia del eje vertical igual a X₁=U/A.. Y estas dos líneas, vertical y horizontal se encuentran en la combinación donde AX₁ = BX₂ , combinación que es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de U.

Si todo esto resulta claro, debe resultar igualmente claro, que los bienes complementarios perfectos que están bien representados por la grafica de una curva de indiferencia en forma de L, también lo pueden estar por la grafica correspondiente a la función de utilidad  U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁).

El procedimiento para construir la grafica de la curva de indiferencia que genera una utilidad U de esta función es el mismo que el descrito para la curva que tiene forma de L.

En el caso de esta función de utilidad U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX₁-X₂ = AX₂-X₁, es decir,  X₁ =  X₂ . Y la representación grafica de esta función es la bisectriz que parte del orígen de coordenadas con un ángulo de inclinación de 45 grados.

Si queremos construir una curva de indiferencia, entonces empezamos con el vertice de coordenadas X₁ =  X₂ . Y la utilidad que genera esta curva de indiferencia es igual a U =mín(AX₁ – X₂ ,  AX₂ – X₁) = mín(AX₁ – X₁ ,  AX₁ – X₁) = AX₁ – X₁ = AX₂ – X₂ .

Conocemos entonces, la utilidad de la curva de indiferencia y el vértice. Vamos ahora a conocer el resto de la curva. Las combinaciones de los bienes 1 y 2 en la curva de indiferencia que dan una utilidad de U se encuentran sobre las rectas AX₁ – X₂  y AX₂ – X₁ . En la recta  U = AX₁ – X₂ , el número de unidades del bien 2 es igual a X₂  = U + AX₁ . Se trata de una línea recta con pendiente positiva igual a A y que empieza en la combinación X₁ =  X₂ . En el otro caso, de la recta U = AX₂ – X₁ , el número de unidades del bien 2 es igual a X₂  = (U/A) + (X₁ /A) . Se trata, también,  de una línea recta con pendiente positiva igual a 1/A y que empieza en la combinación X₁ =  X₂ . Es decir, aquí no se trata de una curva de indiferencia en forma de L sino de una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo.

Veamos un ejemplo particular que nos explique mejor lo dicho aquí. La función de utilidad es U =mín(2X₁ – X₂ ,  2X₂ – X₁).  X₂ = X₁ es la recta que contiene los vértices de las curvas de indiferencia de esta función. Supongamos que el consumidor se ubica en la combinación (5, 5). Entonces la utilidad obtenida es U = 5. Hacemos ahora 5 = 2X₁ – X₂ , o, lo que es lo mismo,  X₂ = 2X₁ – 5, y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 2 y que empieza en la combinación (5, 5). Si ahora hacemos 5 = 2X₂ – X₁ , o, lo que es lo mismo,  X₂ = 2.5 + 0.5X₁ , y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 0.5 y que empieza en la combinación (5, 5). En consecuencia, tenemos una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo con vertice sobre la combinación (5, 5).

Tomemos una combinación sobre la recta  X₂ = 2X₁ – 5, que no sea el vertice (5, 5). Si, por ejemplo, X₁ = 10, entonces X₂ = 15, y esta combinación (10, 15) generará una utilidad igual a  U =mín(2*10 – 15 ,  2*15 – 10) = mín(5 ,  20) = 5.

Es decir, la utilidad en (5, 5) es la misma que en (10, 15), lo que confirma que estas combinaciones se encuentran sobre la misma curva de indiferencia. Lo mismo va a ocurrir si nos ubicamos en una combinación como (10, 7.5), que se encuentra sobre la otra recta que forma parte de la curva de indiferencia, X₂ = 2.5 + 0.5X₁ . Aquí la utilidad obtenida es también igual a 5, U =mín(2*10 – 7.5 ,  2*7.5 – 10) = mín(12.5 ,  5) = 5.

Así se confirma que moviéndose desde el vértice (5, 5) por la recta con pendiente 2, por ejemplo en (10, 15), o por la recta con pendiente 0.5, por ejemplo en (10. 7.5), la utilidad es la misma. Es decir, estamos sobre una curva de indiferencia.

Entonces estas curvas de indiferencia en forma de ángulo agudo también representan a los bienes complementarios perfectos. ¿Y qué ocurrirá en el caso de curvas de indiferencia en forma de ángulo obtuso? También se trata de bienes complementarios perfectos.

Un ejemplo de este tipo lo encontramos en Ejercicios de Microeconomía Intermedia, de Bergstrom y Varian. La función de utilidad es U =mín(X₁ + 2X₂ ,  2X₁ + X₂). El lector puede  hacer los cálculos  necesarios, siguiendo el mismo procedimiento que aquí hemos establecido, y se va a encontrar con curvas de indiferencia que forman ángulos obtusos.

Finalmente ¿qué ocurre si en lugar de tener una bisectríz, X₂ = X₁, donde se encuentran los vértices de las curvas de indiferencia, tenemos un rayo del tipo AX₂ =B X₁? Pues nada, se trata de otra forma de representar curvas de indiferencia para bienes complementarios perfectos. El lector tiene aquí otro ejercicio para comprobarlo.

Bergstrom y Varian, Ejercicios de Microeconomía Intermedia, 4a edición, Antoni Bosch editor, capítulo 4, problema 4.7, página 35.