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La Restricción de Presupuesto en un Mapa Mental
Jul 31st, 2008 by Guillermo Pereyra

Como parte de un proyecto que venimos trabajando, hemos elaborado el mapa mental del capítulo 2 del texto de Varian, la Restricción de Presupuesto. Para elaborar el mapa mental hemos trabajado con  FREEMIND, que es open source. Las ecuaciones se han trabajado en el editor de ecuaciones online del Rincón Matemático, y los graficos mediante el XPAINT.

El tamaño del mapa se puede regular mediante el menú que aparece en el borde superior centro. Para moverse por el mapa se emplea el menú del borde superior izquierdo. Si quiere mover el mapa, basta con ubicarse en cualquier punto externo al mapa, es decir, en cualquier área en la pantalla fuera del mapa, click con el botón izquierdo del mouse y manténgalo así, mueva el mouse en cualquier dirección y el mapa se moverá en esa dirección.

Para observar todo el mapa, haga click sobre cada nodo. De esta manera se expande el mapa. Otro click sobre el nodo y se contrae. El mapa extendido es grande y no se aprecia adecuadamente. Se aconseja entrar a un nodo y desarrollarlo mediante clicks hasta extenderlo totalmente. Y luego volver a contraerlo para pasar a otro nodo. No deja de ser interesante, sin embargo, apreciar todo el mapa extendido. En este caso es bueno achicar el mapa mediante el menú del borde superior central.

Si quieren agrandar el mapa, click sobre el botón con el signo más en el borde superior central. Para achicar el mapa, click sobre el botón con el signo menos.

Click sobre cualquiera de las imágenes para acceder al mapa mental.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (final)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

Ahora se trata de decidir sobre cuál de las alternativas es mejor. Dos de ellas, incrementar el ingreso y regalar 10 canastas dan los mismos resultado. La otra, la entrega de cupones, genera una menor utilidad pero implica también un menor gasto público. Si los recursos públicos son una restricción, ésta es la mejor alternativa.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (IV)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

Se han probado dos políticas para mejorar la situación de las familias en pobreza extrema. En la primera, el gobierno entrega gratuitamente 10 canastas de alimentos con un costo de 250 nuevos soles. En la segunda subsidi con 15 nuevos soles cada una de las 10 primeras canastas, y el costo es de 150 nuevos soles. En ambos casos se alcanza una utilidad mayor que sin la intervención del gobierno. Pero la utilidad es mayor con el primer programa. Lo que es bastante obvio. La utilidad crece si se regalan las canastas de alimentos que si se abaratan.

Ahora se analiza la tercera alternativa: Un incremento en el ingreso de las familias, igual a 250 nuevos soles.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (III)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

El resultado de la primera alternativa de solución, que es el programa actual del gobierno, es un incremento del bienestar de las familias. Las familias ahora consumen 15 canastas de alimentos y 375 unidades del resto de otros bienes. Un incremento del 50% en el consumo. Y el costo del programa, a precios de mercado, es de 250 nuevos soles por familia.

En este post vamos a ver ahora la segunda alternativa de solución. Ahora no se trata de regalar las canastas, sino de contar con un fuerte subsidio sobre su precio.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (II)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

En el anterior post se llegó al óptimo del consumidor dados el ingreso, 500 nuevos soles, el precio de la canasta de los alimentos, 25 nuevos soles y las preferencias. El resultado fue una combinación de 10 canastas de alimentos y 250 unidades del resto de otros bienes. Este es el punto de partida.

Ahora se trata de mejorar la situación de la familia, mediante la primera alternativa de solución: el gobierno decide entregar gratuitamente 10 canastas de alimentos. A continuación se presenta esta segunda parte del problema.


 

La curva precio consumo en el caso de sustitutos perfectos
Oct 11th, 2007 by Guillermo Pereyra

La curva precio consumo (CPC) de un bien, es el locus geométrico de todas las combinaciones óptimas cuando cambia su precio.

Es un ejercicio de estática comparativa. Si el precio, por ejemplo, del bien en el eje vertical, se mantiene constante y se mantiene constante el ingreso del consumidor, interesa entonces conocer el óptimo del consumidor si el precio del bien en el eje horizontal cambia. Uno puede esperar que si el precio cae la cantidad demandada se incrementa. Éste sería el caso cuando el bien es ordinarios.

El tema parece más o menos evidente si trabajamos con preferencias regulares. Se trata de curvas convexas, suaves, de pendiente negativa. Si el precio del bien en el eje horizontal cae, la recta de presupuesto pivota hacia afuera y el consumidor salta a una curva de indiferencia más alta, a la derecha del óptimo actual. En este caso, uniendo todas las canastas óptimas resultantes del cambio en el precio, obtenemos la curva precio consumo. Ésta es una curva líneal de pendiente cero (¿por qué?). 1

Pero, ¿qué pasa en el caso de preferencias no regulares, como en el caso de los bienes sustitutos perfectos? ¿Cómo es la CPC?

Sustitutos Perfectos

En el caso de sustitutos perfectos la función de utilidad del consumidor es del tipo U=aX_1+bX_2. Si ponemos la función de utilidad en términos de la cantidad del bien en el eje vertical para cada nivel de utilidad, obtenemos: X_2=\frac{U}{b} - \frac{aX_1}{b}. Se trata de una función líneal con pendiente negativa igual a -\frac{a}{b}.

Esta pendiente es la tasa subjetiva de cambio (tasa marginal de sustitución) TSC y nos dice la cantidad de unidades del bien en el eje vertical que estamos dispuestos a sacrificar para tener una unidad adicional del bien en el eje horizontal. En consecuencia, en el caso de sustitutos perfectos la tasa marginal de sustitución es constante.

En el caso más sencillo, cuando en la función de utilidad a y b son iguales, la TSC es -1; es decir, el consumidor siempre está dispuesto a sacrificar una unidad del bien en el eje vertical para obtener una unidad adicional del bien en el eje horizontal.

 
Ahora tenemos que juntar lo que sucede en el campo de las preferencias con lo que sucede en el campo de las posibilidades. En el campo de las posibilidades  se encuentran las canastas factibles para el consumidor. Son factibles en la medida que pueden ser adquiridas por el consumidor dados los precios de los bienes y  dado el ingreso del consumidor destinado al consumo de los bienes.

Si el precio del bien en el eje horizontal, bien 1, P_1, es igual al precio del bien en el eje vertical, bien 2, P_2, el costo de oportunidad de una unidad del bien 1 será siempre igual a una unidad del bien 2. Es decir la tasa objetiva de cambio (TOC) , la tasa a la cual podemos obtener una unidad adicional del bien 1 sacrificando una cantidad de unidades del bien 2, es igual a la pendiente de la recta de presupuesto. Esta pendiente es - \frac{P_1}{P_2} . Y como, en nuestro ejemplo, el precio del bien 1 es igual al precio del bien 2, la TOC es igual a -1 y es igual a la TSC. En consecuencia, la tasa a la cual estamos dispuestos a sacrificar unidades del bien 2 para tener una unidad adicional del bien 1, es igual a la tasa a la cual se puede cambiar unidades del bien 2 para tener una unidad adicional del bien 1.

Y como la TSC es constante e igual a la TOC el consumidor es indiferente frente a cualquier combinación de bienes que se encuentre sobre su recta de presupuesto. Y si se unen todas estas combinaciones óptimas esta recta viene a ser también un tramo de la CPC. El siguiente gráfico dinámico muestra este resultado.

La CPC es la recta de presupuesto porque une todas las combinaciones óptimas para el consumidor. Pero aún no hemos realizado la estática comparativa. Supongamos ahora que el precio del bien 1 cambia. Supongamos que el precio del bien 1 sube. Ahora P_1 > P_2. ¿Cómo es ahora la CPC?

Más barato es mejor

Si el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2, el consumidor prefiere comprar el bien 2. ¿Cuánto comprará del bien 2? El máximo que me permite comprar mi ingreso dado el precio del bien 2, \frac{m}{P_2}. ¿Por qué? Porque mi TSC es igual a la unidad pero ahora la TOC es mayor a la unidad. Entonces dejo de consumir el bien 1 y consumo únicamente el bien 2.

Y esto significa que siempre que el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2, la demanda del bien 1 será de cero unidades y la demanda del bien 2 será del máximo de unidades posibles del bien 2. Es decir, la CPC es ahora el eje vertical a partir del intercepto vertical de la recta de presupuesto.

Ahora, si el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2, el consumidor prefiere comprar el bien 1. ¿Cuánto comprará del bien 1? El máximo que me permite comprar mi ingreso dado el precio del bien 1, \frac{m}{P_1}. ¿Por qué? Porque mi TSC es igual a la unidad pero ahora la TOC es menor a la unidad. Entonces dejo de consumir el bien 2 y consumo únicamente el bien 1.

Y esto significa que siempre que el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2, la demanda del bien 2 será de cero unidades y la demanda del bien 1 será del máximo de unidades posibles del bien 1. Es decir, la CPC es ahora el eje horizontal a partir del intercepto horizontal de la recta de presupuesto.

Resumiendo, la CPC es el eje vertical para el tramo de precios en que el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2; y es el eje horizontal para el tramo de precios en que el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2. Y cuando el precio del bien 1 es igual al precio del bien 2 la CPC es la restricción de presupuesto.

En el siguiente gráfico animado se puede apreciar cómo se dibuja la CPC cuando el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2 (y entonces sólo estamos consumiendo el bien 2) y luego el precio del bien 1 va disminuyendo, durante el primer intervalo el precio del bien 1 disminuye pero sigue siendo menor al precio del bien 2 y el consumidor sólo consume el bien 2, en consecuencia, el consumo del bien 2 es el máximo posible e igual al ingreso del consumidor entre el precio del bien 2. Se representa por el punto verde. En un sengundo momento el precio del bien 1 disminuye y se hace igual al precio del bien 2, y en este caso el consumidor se ubica en cualquier combinación de bienes sobre su recta de presupuesto. Y finalmente el precio del bien 1 sigue cayendo y se hace menor al precio del bien 2, y ahora el consumidor prefiere sólo el bien 1. En el primer tramo de precios la CPC es un punto, en el caso de precios iguales, la CPC es la recta de presupuesto, y en el caso final, la CPC es horizontal.

TSC diferentes a la unidad

La CPC para sustitutos perfectos tiene la misma forma incluso para el caso en que la TSC no es igual a la unidad. En estos casos se debe tener cuidado para determinar el tramo de precios donde somos indiferentes entre consumir uno u otro de los bienes. Si 2 unidades del bien 2 son equivalentes, para mí, a una unidad del bien 1, entonces me dará igual consumir el bien 1 o el bien 2 si el precio del bien 1 es el doble del precio del bien 2. Esto es así porque con el dinero suficiente para comprar una unidad del bien 1 puedo comprar dos unidades del bien 2 y estas cantidades son indiferentes para mí.

Por la misma razón, si el precio del bien 1 es más del doble del precio del bien 2, sólo consumiré el bien 2 y sólo consumiré el bien 1 si el precio del bien 1 es menor al doble del precio del bien 2.

La demanda marshalliana

A partir de la CPC podemos estudiar el comportamiento del consumidor en términos de sus opciones para cada uno de los bienes cuando cambia su precio. Esto nos lleva a la curva de demanda marshalliana o curva de demanda ordinaria.

La curva de demanda ordinaria es el locus geométrico de las cantidades óptimas del bien para cada nivel de precio.

Si queremos estimar la demanda del bien 1, tomamos las cantidades óptimas de la CPC para cada cambio en el precio del bien 1. Graficamos en el eje horizontal las cantidades óptimas del bien y en el eje vertical el precio. En consecuencia, la curva de demanda ordinaria nos muestra la cantidad demandada, óptima, para cada precio del mismo bien, manteniendo constantes el ingreso del consumidor y el precio del otro bien.

En el tramo de precios donde la CPC es un tramo del eje vertical, la demanda del bien 1 es cero. En el tramo de precios donde la CPC es la recta de presupuesto, la demanda del bien 1 va desde CERO hasta el máximo que puede comprar destinando todo su ingreso. Finalmente cuando la CPC es horizontal la demanda del bien 1 es  m/P1 . Este tramo de la curva es una HIPÉRBOLA con pendiente negativa.  El grafico animado que sigue muestra el comportamiento de la curva de demanda.


 

1. La demanda de un bien con preferencias regulares (funciones de utilidad del tipo Cobb Douglas) depende de su propio precio y del ingreso y no depende del precio del otro bien. En consecuencia, cuando cambia el precio de uno de los bienes, no cambia la cantidad demandada del otro bien. Si el precio del bien en el eje horizontal cambia, cambia la cantidad óptima de este bien sin que cambie la cantidad óptima del bien en el eje vertical. En consecuencia la CPC que une todas las combinaciones óptimas cuando cambia el precio del bien en el eje horizontal, tiene siempre la misma altura, porque la cantidad óptima del bien en el eje vertical no cambia. Entonces la CPC es una horizontal a la altura de la cantidad óptima del bien en el eje vertical.

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