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Preguntas de Ann
Aug 9th, 2009 by Guillermo Pereyra

Una interesante función de utilidad: sustitutos que parecen complementos
May 21st, 2009 by Guillermo Pereyra

  Daniel nos ha enviado este muy interesante problema:

Graficar la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }
 
Parece una función un tanto complicada pero no lo es. Veamos.

Se trata de determinar el nivel de utilidad que generan las combinaciones de los bienes 1 y 2 , (X_1 , X_2). Para cualquier combinación (X_1 , X_2) , frac{X_1+X_2}{3} queda determinado, y el nivel de utilidad es el valor mínimo entre los valores de X_1 , X_2 y frac{X_1+X_2}{3}.

Si (X_1 , X_2) fuera una combinación de esquina, entonces el nivel de utilidad es cero porque frac{X_1+X_2}{3} siempre será mayor que cero. En el siguiente cuadro se aprecian posibles combinaciones de esquina:

Si el bien 1 es cero y el bien 2 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. si el bien 2 es cero y el bien 1 es cualquier cantidad positiva, la utilidad es cero. La conclusión, es que para esta función de utilidad, las combinaciones de esquina no generan ningún nivel de utilidad y la curva de indiferencia que las representa es el cuadrante positivo de las cantidades del bien 1 y del bien 2.

Si las combinaciones (X_1 , X_2) fueran interiores, es decir, si el consumidor prefiere cantidades positivas de cada uno de los bienes, el nivel de utilidad queda determinado por frac{X_1+X_2}{3} siempre que
frac{X_1+X_2}{3}leq X_1 o también siempre que
frac{X_1+X_2}{3}leq X_2.

Para estos casos el nivel de utilidad se corresponde con el de bienes sustitutos perfecto. El siguiente cuadro muestra algunas combinaciones.

Si hacemos frac{X_1+X_2}{3}=U=1, obtenemos todas las combinaciones de los bienes 1 y 2 que generan un nivel de utilidad de 1. La utilidad obtenida es igual a 2 para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=2. Y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=3 y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=4 y para las combinaciones donde frac{X_1+X_2}{3}=U=5. En todos los casos se trata de líneas rectas de pendiente positiva donde la TSC es igual a la unidad.

En consecuencia, para la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }
la utilidad es cero cuando se trata de combinaciones de esquina y es U=X_1+X_2 para combinaciones interiores. El gráfico que sigue muestra algunas de estas curvas de indiferencia.

Finalmente, para cantidades positivas de los bienes 1 y 2 tales que siempre son mayores al tercio de su suma, el nivel de utilidad sigue siendo el tercio de su suma y son sustitutos perfectos a una TSC igual a la unidad.

Sin considerar las combinaciones de esquina, la conclusión más importante de este problema es, que la función de utilidad U=frac{X_1+X_2}{3} es una transformación monótona de la función de utilidad
U=minleft { X_1 , X_2 , frac{X_1+X_2}{3} right }

Y otra conclusión importante en términos de preferencias, es que el consumidor está dispuesto a sustituir a una tasa constante una cantidad de un bien para tener una unidad adicional del otro bien y mantenerse sobre el mismo nivel de utilidad, pero no está dispuesto a prescindir de uno de los bienes.

Capítulo 4, Varian, Utilidad
Apr 9th, 2009 by Guillermo Pereyra

La Navidad vista por un maximizador de utilidad
Jan 17th, 2009 by Guillermo Pereyra

por Jean R.

Todos sabemos lo fácil que es quedar atrapados en el espíritu de la Navidad y en el frenesí de los regalos . Una gran cantidad de tiempo y energía se dedica a pensar en el "regalo perfecto" para los amigos y la familia.Si bien estoy seguro de que muchos tienen éxito en este empeño, hay, sin duda, un gran número de regalos que la gente que los ha recibido, buscará cambiar por dinero efectivo, incluso si esa cantidad de efectivo es inferior al precio de venta del producto.

Gracias a eBay, un servicio en línea anónimo, los consumidores ahora pueden hacerlo! Según un reciente estudio de eBay, más gente que nunca va a vender regalos no deseados este año. La recesión actual tiene en parte la culpa: muchas personas probablemente utilizarán el dinero de la venta de sus regalos, para reducir su deuda de tarjeta de crédito, pagar su hipoteca, o simplemente cubrir sus cuentas.La preferencia de la gente por dinero en efectivo frente a sus regalos, puede explicarse utilizando los fundamentos económicos de utilidad.

Ahora que la temporada navideña pasó, muchos de nosotros pensamos: "¿Qué voy a hacer con otro transmisor de FM para mi iPod?" A menudo, tanto el que regala como el que recibe regalos, puede estar mejor (es decir, recibir un mayor nivel de utilidad) si un intercambio con dinero efectivo se hubiera realizado. Para entender la lógica económica detrás de esto, pasamos al modelo básico de la teoría del consumidor: la restricción de presupuesto y las curvas de indiferencia.

Recordemos que una curva de indiferencia muestra todas las combinaciones de consumo deseadas que producen el mismo nivel de utilidad para un determinado consumidor. Las curvas de indiferencia no nos dicen nada sobre lo que podemos obtener, pero sí cuan feliz nos hará una combinación específica de consumo. Por otro lado, la restricción de presupuesto muestra las combinaciones de consumo que podemos comprar dados nuestro ingreso y los precios de los bienes. Del mismo modo, la restricción de presupuesto no nos dice nada acerca de lo que nos gustaría comprar, pero sí las combinaciones que podemos adquirir. La combinación óptima de bienes del consumidor, se encuentra allí donde la recta de presupuesto es tangente a la curva de indiferencia más alta posible.

Pero ¿qué sucede con la recta de presupuesto cuando se recibe un regalo?  Considere el siguiente ejemplo. Ud. consume sólo dos tipos de productos: libros y alimentos. Usted tiene $ 80 cada semana, para gastar en estos dos productos. El precio de un libro es de $ 10, y el precio de cada unidad de alimento es también $ 10. Supongamos que, sin considerar los regalos de Navidad, Ud. consume 2 libros y 6 unidades de alimentos.Esto se representa en el gráfico a continuación:

Pero ahora supongamos que tu abuela te da 5 libros para Navidad.Esto significa que ahora Ud. puede temer 8 unidades de alimentos y 5 libros sin gastar dinero en libros; o también Ud. puede tener 13 libros si no gasta nada en comida. Supongamos que usted no puede devolver inmediatamente o vender los 5 libros que su abuela le ha regalado. Si usted tiene una alta preferencia hacia alimentos más que a libros, puede encontrar que no hay ninguna curva de indiferencia tangente a su nueva restricción presupuestaria en la región donde ahora se puede consumir entre (5 libros, 8 unidades de alimentos) y (13 libros, 0 unidades de alimentos):

En este caso, la combinación óptima del consumidor no cumple la condición de tangencia, porque no hay tangencia en esta región de la restricción presupuestaria; esto se conoce como solución de esquina. En otras palabras, si en lugar de los libros, su abuela le da el dinero que gasta en los libros (5 libros x $ 10 por libro = $ 50), su recta de presupuesto va a incluir también el área gris de abajo, y Ud. estaría en mejor situación desde que ahora pueden consumir 3 libros y 10 unidades de alimentos.

Preguntas para el debate

  1.  ¿Cuánto dinero tendría que darle su abuela, en lugar del regalo, que lo deje por lo menos tan bien como si hubiera recibido el presente (es decir, con el mismo nivel de utilidad)? Haga un dibujo que represente su respuesta.
  2.  ¿Qué elementos de la vida real ignora la teoría del consumidor?
  3. ¿Qué regalos, si hay, podría haberle dado su abuela en lugar de los 5 libros, que sería tan bueno como si ella le hubiera dado el dinero que gasta en ellos?

Traducido al castellano gracias al servicio de traducción de Google. La edición final  ha sido ajustada por nosotros.  El título del post no es el título del artículo. Puede leer el artículo original en inglés en Scrooge’s Economic View of Christmas.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (final)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

Ahora se trata de decidir sobre cuál de las alternativas es mejor. Dos de ellas, incrementar el ingreso y regalar 10 canastas dan los mismos resultado. La otra, la entrega de cupones, genera una menor utilidad pero implica también un menor gasto público. Si los recursos públicos son una restricción, ésta es la mejor alternativa.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (IV)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

Se han probado dos políticas para mejorar la situación de las familias en pobreza extrema. En la primera, el gobierno entrega gratuitamente 10 canastas de alimentos con un costo de 250 nuevos soles. En la segunda subsidi con 15 nuevos soles cada una de las 10 primeras canastas, y el costo es de 150 nuevos soles. En ambos casos se alcanza una utilidad mayor que sin la intervención del gobierno. Pero la utilidad es mayor con el primer programa. Lo que es bastante obvio. La utilidad crece si se regalan las canastas de alimentos que si se abaratan.

Ahora se analiza la tercera alternativa: Un incremento en el ingreso de las familias, igual a 250 nuevos soles.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (III)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

El resultado de la primera alternativa de solución, que es el programa actual del gobierno, es un incremento del bienestar de las familias. Las familias ahora consumen 15 canastas de alimentos y 375 unidades del resto de otros bienes. Un incremento del 50% en el consumo. Y el costo del programa, a precios de mercado, es de 250 nuevos soles por familia.

En este post vamos a ver ahora la segunda alternativa de solución. Ahora no se trata de regalar las canastas, sino de contar con un fuerte subsidio sobre su precio.

La distribución de canastas de alimentos y el óptimo del consumidor (II)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

En el anterior post se llegó al óptimo del consumidor dados el ingreso, 500 nuevos soles, el precio de la canasta de los alimentos, 25 nuevos soles y las preferencias. El resultado fue una combinación de 10 canastas de alimentos y 250 unidades del resto de otros bienes. Este es el punto de partida.

Ahora se trata de mejorar la situación de la familia, mediante la primera alternativa de solución: el gobierno decide entregar gratuitamente 10 canastas de alimentos. A continuación se presenta esta segunda parte del problema.


 

La distribuciòn de canastas de alimentos y el òptimo del consumidor (I)
Apr 29th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

A raìz de la distribuciòn gratuita de alimentos que, en horas de la madrugada, el gobierno ha empezado a realizar como parte de su programa de apoyo a la extrema pobreza, se me ocurriò trabajar el tema con mis alumnos en la UNI. La  hipòtesis de partida es comprobar, con el modelo de la teorìa del consumidor, las bondades de esta política.

El punto de partida es la situaciòn sin la intervenciòn del gobierno. Y luego nos hemos propuesto tres alternativas para mejorar la situaciòn de las familias en pobreza extrema:

  • En la primera, se trabaja el programa del gobierno: Repartir gratuitamente canastas de alimentos;
  • En la segunda alternativa, se propone la entrega de cupones de alimentos para bajar sustantivamente el precio de la canasta, y
  • En la tercera alternativa, se propone entregar directamente un monto de dinero a las familias a beneficiar.

Todo quedò organizado en un cuestionario que queremos publicar aquì. En este post presentamos la situaciòn inicial. En los siguientes posts presentaremos las alternativas de soluciòn.

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Más sobre las preferencias de bienes complementarios perfectos
Apr 14th, 2008 by Guillermo Pereyra

 

Las preferencias sobre bienes complementarios perfectos se representan por curvas de indiferencia en forma de L (de ángulo recto) y responden a funciones de utilidad del tipo U =mín(AX1, BX2), donde A, B y Xi son valores no negativos. Sin embargo, no necesariamente tienen que estar representadas mediante esta forma. Pueden también ser representadas por otro tipo de formatos. Aquí queremos referirnos a funciones de utilidad del tipo U=mín(AX1-X2, AX2-X1).

La costumbre nos ha hecho pensar que como los bienes complementarios perfectos se consumen en una proporción fija, entonces las combinaciones que se alejan de esta proporción, con más de uno de los bienes y la misma cantidad del otro, no generan mayor utilidad. Así, dada la proporción fija de los bienes, una combinación que responda a esta proporción se ubica, gráficamente, en el vértice de la curva de indiferencia y nos genera un cierto nivel de utilidad. Si nos desplazamos a la derecha, para tener más unidades del bien en el eje horizontal con las mismas cantidades del bien en el eje vertical, la utilidad final es siempre la misma. Y lo mismo ocurre en la otra dirección: Si nos desplazamos hacia arriba, para tener más unidades del bien en el eje vertical con las mismas cantidades del bien en el eje horizontal, la utilidad final es siempre la misma. Y esto es perfectamente lógico.

Por ejemplo, si pensamos en el famoso e inútil ejemplo típico, zapato izquierdo y zapato derecho, es claro que la combinación de un zapato izquierdo con uno derecho nos genera una cierta satisfacción. Y que esta satisfacción no crece en nada si tenemos más zapatos derechos o más zapatos izquierdos. La razón es simple: se ha roto la proporción en el consumo. En este caso, la proporción es la unidad. Esta unidad es igual a la cantidad de bienes en el eje vertical, dividida entre la cantidad de bienes en el eje horizontal. Es decir, el consumidor obtiene utilidad si consume los bienes en las mismas cantidades.

Y para el caso más general, U =mín(AX1, BX2), las curvas de indiferencia en forma de L siguen siendo las únicas que representan a estos bienes. En este caso, general, la proporción fija en que se combinan los bienes, se obtiene haciendo AX1 = BX2 y luego despejando para X2: X2 = (A/B)X1. Esta ecuación se representa gráficamente mediante un rayo con pendiente positiva e igual a (A/B). Cualquier punto sobre este rayo es el vertice de una curva de indiferencia que representa a la función de utilidad. Si, por ejemplo, A es 2 y B es 1, entonces (A/B)=2 y  X2 = 2X1 , y tenemos un rayo con pendiente positiva igual a 2. Una combinación de los bienes 1 y 2 sobre este rayo es, por ejemplo, (2, 4). La proporción fija en que se combinan los bienes es 2 unidades del bien 2 por cada unidad del bien 1. Una función de utilidad asociada a estas preferencias es, por ejemplo: U =mín(2X1, X2), y con la combinación (2, 4) se obtiene una utilidad total de 4.

Si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (2, 5), la utilidad obtenida … sigue siendo 4. Y si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (3, 4), la utilidad obtenida… sigue siendo 4. Vale decir, la combinación (2, 4) es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de 4, y cualquier combinación a la derecha del vertice o arriba del vertica no añade utilidad alguna.

La conclusión hasta aquí es que las funciones de utilidad del tipo U =mín(AX1, BX2) se representan mediante curvas de indiferencia en forma de L  porque los bienes 1 y 2 se combinan siempre en una proporción fija que está representada por el vértice de la L. Y que, en consecuencia, estos bienes son complementarios perfectos.

Pero, ¿cómo se representan graficamente las funciones de utilidad del tipo U=mín(AX1-X2, AX2-X1)?

En el caso de la función de utilidad U =mín(AX1, BX2), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX1= BX2, es decir, dado X1 ,  X2 es  (A/B)X1 , y entonces la utilidad que se obtiene con esta combinación es U =mín(AX1, B(A/B)X1)= AX1. Y todas las combinaciones que representan este nivel de utilidad están sobre la recta U =  AX1 ,  o, que es lo mismo, X1=U/A. Esta última función se representa graficamente como una línea vertical que empieza a una altura sobre el eje horizontal igual a X2=U/B (recuerde que AX1= BX2).

Pero X2=U/B es, a su vez, una función que se representa graficamente por una línea horizontal que empieza a una distancia del eje vertical igual a X1=U/A.. Y estas dos líneas, vertical y horizontal se encuentran en la combinación donde AX1 = BX2 , combinación que es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de U.

Si todo esto resulta claro, debe resultar igualmente claro, que los bienes complementarios perfectos que están bien representados por la grafica de una curva de indiferencia en forma de L, también lo pueden estar por la grafica correspondiente a la función de utilidad  U=mín(AX1-X2, AX2-X1).

El procedimiento para construir la grafica de la curva de indiferencia que genera una utilidad U de esta función es el mismo que el descrito para la curva que tiene forma de L.

En el caso de esta función de utilidad U=mín(AX1-X2, AX2-X1), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX1-X2 = AX2-X1, es decir,  X1 =  X2 . Y la representación grafica de esta función es la bisectriz que parte del orígen de coordenadas con un ángulo de inclinación de 45 grados.

Si queremos construir una curva de indiferencia, entonces empezamos con el vertice de coordenadas X1 =  X2 . Y la utilidad que genera esta curva de indiferencia es igual a U =mín(AX1 – X2 ,  AX2 – X1) = mín(AX1 – X1 ,  AX1 – X1) = AX1 – X1 = AX2 – X2 .

Conocemos entonces, la utilidad de la curva de indiferencia y el vértice. Vamos ahora a conocer el resto de la curva. Las combinaciones de los bienes 1 y 2 en la curva de indiferencia que dan una utilidad de U se encuentran sobre las rectas AX1 – X2  y AX2 – X1 . En la recta  U = AX1 – X2 , el número de unidades del bien 2 es igual a X2  = U + AX1 . Se trata de una línea recta con pendiente positiva igual a A y que empieza en la combinación X1 =  X2 . En el otro caso, de la recta U = AX2 – X1 , el número de unidades del bien 2 es igual a X2  = (U/A) + (X1 /A) . Se trata, también,  de una línea recta con pendiente positiva igual a 1/A y que empieza en la combinación X1 =  X2 . Es decir, aquí no se trata de una curva de indiferencia en forma de L sino de una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo.

Veamos un ejemplo particular que nos explique mejor lo dicho aquí. La función de utilidad es U =mín(2X1 – X2 ,  2X2 – X1).  X2 = X1 es la recta que contiene los vértices de las curvas de indiferencia de esta función. Supongamos que el consumidor se ubica en la combinación (5, 5). Entonces la utilidad obtenida es U = 5. Hacemos ahora 5 = 2X1 – X2 , o, lo que es lo mismo,  X2 = 2X1 – 5, y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 2 y que empieza en la combinación (5, 5). Si ahora hacemos 5 = 2X2 – X1 , o, lo que es lo mismo,  X2 = 2.5 + 0.5X1 , y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 0.5 y que empieza en la combinación (5, 5). En consecuencia, tenemos una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo con vertice sobre la combinación (5, 5).

Tomemos una combinación sobre la recta  X2 = 2X1 – 5, que no sea el vertice (5, 5). Si, por ejemplo, X1 = 10, entonces X2 = 15, y esta combinación (10, 15) generará una utilidad igual a  U =mín(2*10 – 15 ,  2*15 – 10) = mín(5 ,  20) = 5.

Es decir, la utilidad en (5, 5) es la misma que en (10, 15), lo que confirma que estas combinaciones se encuentran sobre la misma curva de indiferencia. Lo mismo va a ocurrir si nos ubicamos en una combinación como (10, 7.5), que se encuentra sobre la otra recta que forma parte de la curva de indiferencia, X2 = 2.5 + 0.5X1 . Aquí la utilidad obtenida es también igual a 5, U =mín(2*10 – 7.5 ,  2*7.5 – 10) = mín(12.5 ,  5) = 5.

Así se confirma que moviéndose desde el vértice (5, 5) por la recta con pendiente 2, por ejemplo en (10, 15), o por la recta con pendiente 0.5, por ejemplo en (10. 7.5), la utilidad es la misma. Es decir, estamos sobre una curva de indiferencia.

Entonces estas curvas de indiferencia en forma de ángulo agudo también representan a los bienes complementarios perfectos. ¿Y qué ocurrirá en el caso de curvas de indiferencia en forma de ángulo obtuso? También se trata de bienes complementarios perfectos.

Un ejemplo de este tipo lo encontramos en Ejercicios de Microeconomía Intermedia, de Bergstrom y Varian. La función de utilidad es U =mín(X1 + 2X2 ,  2X1 + X2). El lector puede  hacer los cálculos  necesarios, siguiendo el mismo procedimiento que aquí hemos establecido, y se va a encontrar con curvas de indiferencia que forman ángulos obtusos.

Finalmente ¿qué ocurre si en lugar de tener una bisectríz, X2 = X1, donde se encuentran los vértices de las curvas de indiferencia, tenemos un rayo del tipo AX2 =B X1? Pues nada, se trata de otra forma de representar curvas de indiferencia para bienes complementarios perfectos. El lector tiene aquí otro ejercicio para comprobarlo.

 


Bergstrom y Varian, Ejercicios de Microeconomía Intermedia, 4a edición, Antoni Bosch editor, capítulo 4, problema 4.7, página 35.
 

 

 

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