Todos sabemos lo fácil que es quedar atrapados en el espíritu de la Navidad y en el frenesí de los regalos . Una gran cantidad de tiempo y energía se dedica a pensar en el "regalo perfecto" para los amigos y la familia.Si bien estoy seguro de que muchos tienen éxito en este empeño, hay, sin duda, un gran número de regalos que la gente que los ha recibido, buscará cambiar por dinero efectivo, incluso si esa cantidad de efectivo es inferior al precio de venta del producto.

Gracias a eBay, un servicio en línea anónimo, los consumidores ahora pueden hacerlo! Según un reciente estudio de eBay, más gente que nunca va a vender regalos no deseados este año. La recesión actual tiene en parte la culpa: muchas personas probablemente utilizarán el dinero de la venta de sus regalos, para reducir su deuda de tarjeta de crédito, pagar su hipoteca, o simplemente cubrir sus cuentas.La preferencia de la gente por dinero en efectivo frente a sus regalos, puede explicarse utilizando los fundamentos económicos de utilidad.

Ahora que la temporada navideña pasó, muchos de nosotros pensamos: "¿Qué voy a hacer con otro transmisor de FM para mi iPod?" A menudo, tanto el que regala como el que recibe regalos, puede estar mejor (es decir, recibir un mayor nivel de utilidad) si un intercambio con dinero efectivo se hubiera realizado. Para entender la lógica económica detrás de esto, pasamos al modelo básico de la teoría del consumidor: la restricción de presupuesto y las curvas de indiferencia.

Recordemos que una curva de indiferencia muestra todas las combinaciones de consumo deseadas que producen el mismo nivel de utilidad para un determinado consumidor. Las curvas de indiferencia no nos dicen nada sobre lo que podemos obtener, pero sí cuan feliz nos hará una combinación específica de consumo. Por otro lado, la restricción de presupuesto muestra las combinaciones de consumo que podemos comprar dados nuestro ingreso y los precios de los bienes. Del mismo modo, la restricción de presupuesto no nos dice nada acerca de lo que nos gustaría comprar, pero sí las combinaciones que podemos adquirir. La combinación óptima de bienes del consumidor, se encuentra allí donde la recta de presupuesto es tangente a la curva de indiferencia más alta posible.

Pero ¿qué sucede con la recta de presupuesto cuando se recibe un regalo?  Considere el siguiente ejemplo. Ud. consume sólo dos tipos de productos: libros y alimentos. Usted tiene $ 80 cada semana, para gastar en estos dos productos. El precio de un libro es de $ 10, y el precio de cada unidad de alimento es también $ 10. Supongamos que, sin considerar los regalos de Navidad, Ud. consume 2 libros y 6 unidades de alimentos.Esto se representa en el gráfico a continuación:

Pero ahora supongamos que tu abuela te da 5 libros para Navidad.Esto significa que ahora Ud. puede temer 8 unidades de alimentos y 5 libros sin gastar dinero en libros; o también Ud. puede tener 13 libros si no gasta nada en comida. Supongamos que usted no puede devolver inmediatamente o vender los 5 libros que su abuela le ha regalado. Si usted tiene una alta preferencia hacia alimentos más que a libros, puede encontrar que no hay ninguna curva de indiferencia tangente a su nueva restricción presupuestaria en la región donde ahora se puede consumir entre (5 libros, 8 unidades de alimentos) y (13 libros, 0 unidades de alimentos):

En este caso, la combinación óptima del consumidor no cumple la condición de tangencia, porque no hay tangencia en esta región de la restricción presupuestaria; esto se conoce como solución de esquina. En otras palabras, si en lugar de los libros, su abuela le da el dinero que gasta en los libros (5 libros x $ 10 por libro = $ 50), su recta de presupuesto va a incluir también el área gris de abajo, y Ud. estaría en mejor situación desde que ahora pueden consumir 3 libros y 10 unidades de alimentos.

Preguntas para el debate

1.  ¿Cuánto dinero tendría que darle su abuela, en lugar del regalo, que lo deje por lo menos tan bien como si hubiera recibido el presente (es decir, con el mismo nivel de utilidad)? Haga un dibujo que represente su respuesta.
2.  ¿Qué elementos de la vida real ignora la teoría del consumidor?
3. ¿Qué regalos, si hay, podría haberle dado su abuela en lugar de los 5 libros, que sería tan bueno como si ella le hubiera dado el dinero que gasta en ellos?

Traducido al castellano gracias al servicio de traducción de Google. La edición final  ha sido ajustada por nosotros.  El título del post no es el título del artículo. Puede leer el artículo original en inglés en Scrooge’s Economic View of Christmas.

Ahora se trata de decidir sobre cuál de las alternativas es mejor. Dos de ellas, incrementar el ingreso y regalar 10 canastas dan los mismos resultado. La otra, la entrega de cupones, genera una menor utilidad pero implica también un menor gasto público. Si los recursos públicos son una restricción, ésta es la mejor alternativa.

Se han probado dos políticas para mejorar la situación de las familias en pobreza extrema. En la primera, el gobierno entrega gratuitamente 10 canastas de alimentos con un costo de 250 nuevos soles. En la segunda subsidi con 15 nuevos soles cada una de las 10 primeras canastas, y el costo es de 150 nuevos soles. En ambos casos se alcanza una utilidad mayor que sin la intervención del gobierno. Pero la utilidad es mayor con el primer programa. Lo que es bastante obvio. La utilidad crece si se regalan las canastas de alimentos que si se abaratan.

Ahora se analiza la tercera alternativa: Un incremento en el ingreso de las familias, igual a 250 nuevos soles.

En este post vamos a ver ahora la segunda alternativa de solución. Ahora no se trata de regalar las canastas, sino de contar con un fuerte subsidio sobre su precio.

Ahora se trata de mejorar la situación de la familia, mediante la primera alternativa de solución: el gobierno decide entregar gratuitamente 10 canastas de alimentos. A continuación se presenta esta segunda parte del problema.

A raìz de la distribuciòn gratuita de alimentos que, en horas de la madrugada, el gobierno ha empezado a realizar como parte de su programa de apoyo a la extrema pobreza, se me ocurriò trabajar el tema con mis alumnos en la UNI. La  hipòtesis de partida es comprobar, con el modelo de la teorìa del consumidor, las bondades de esta política.

El punto de partida es la situaciòn sin la intervenciòn del gobierno. Y luego nos hemos propuesto tres alternativas para mejorar la situaciòn de las familias en pobreza extrema:

• En la primera, se trabaja el programa del gobierno: Repartir gratuitamente canastas de alimentos;
• En la segunda alternativa, se propone la entrega de cupones de alimentos para bajar sustantivamente el precio de la canasta, y
• En la tercera alternativa, se propone entregar directamente un monto de dinero a las familias a beneficiar.

Todo quedò organizado en un cuestionario que queremos publicar aquì. En este post presentamos la situaciòn inicial. En los siguientes posts presentaremos las alternativas de soluciòn.

Las preferencias sobre bienes complementarios perfectos se representan por curvas de indiferencia en forma de L (de ángulo recto) y responden a funciones de utilidad del tipo U =mín(AX₁, BX₂), donde A, B y X_i son valores no negativos. Sin embargo, no necesariamente tienen que estar representadas mediante esta forma. Pueden también ser representadas por otro tipo de formatos. Aquí queremos referirnos a funciones de utilidad del tipo U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁).

La costumbre nos ha hecho pensar que como los bienes complementarios perfectos se consumen en una proporción fija, entonces las combinaciones que se alejan de esta proporción, con más de uno de los bienes y la misma cantidad del otro, no generan mayor utilidad. Así, dada la proporción fija de los bienes, una combinación que responda a esta proporción se ubica, gráficamente, en el vértice de la curva de indiferencia y nos genera un cierto nivel de utilidad. Si nos desplazamos a la derecha, para tener más unidades del bien en el eje horizontal con las mismas cantidades del bien en el eje vertical, la utilidad final es siempre la misma. Y lo mismo ocurre en la otra dirección: Si nos desplazamos hacia arriba, para tener más unidades del bien en el eje vertical con las mismas cantidades del bien en el eje horizontal, la utilidad final es siempre la misma. Y esto es perfectamente lógico.

Por ejemplo, si pensamos en el famoso e inútil ejemplo típico, zapato izquierdo y zapato derecho, es claro que la combinación de un zapato izquierdo con uno derecho nos genera una cierta satisfacción. Y que esta satisfacción no crece en nada si tenemos más zapatos derechos o más zapatos izquierdos. La razón es simple: se ha roto la proporción en el consumo. En este caso, la proporción es la unidad. Esta unidad es igual a la cantidad de bienes en el eje vertical, dividida entre la cantidad de bienes en el eje horizontal. Es decir, el consumidor obtiene utilidad si consume los bienes en las mismas cantidades.

Y para el caso más general, U =mín(AX₁, BX₂), las curvas de indiferencia en forma de L siguen siendo las únicas que representan a estos bienes. En este caso, general, la proporción fija en que se combinan los bienes, se obtiene haciendo AX₁ = BX₂ y luego despejando para X₂: X₂ = (A/B)X₁. Esta ecuación se representa gráficamente mediante un rayo con pendiente positiva e igual a (A/B). Cualquier punto sobre este rayo es el vertice de una curva de indiferencia que representa a la función de utilidad. Si, por ejemplo, A es 2 y B es 1, entonces (A/B)=2 y  X₂ = 2X₁ , y tenemos un rayo con pendiente positiva igual a 2. Una combinación de los bienes 1 y 2 sobre este rayo es, por ejemplo, (2, 4). La proporción fija en que se combinan los bienes es 2 unidades del bien 2 por cada unidad del bien 1. Una función de utilidad asociada a estas preferencias es, por ejemplo: U =mín(2X₁, X₂), y con la combinación (2, 4) se obtiene una utilidad total de 4.

Si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (2, 5), la utilidad obtenida … sigue siendo 4. Y si en lugar de la combinación (2, 4) tenemos la combinación (3, 4), la utilidad obtenida… sigue siendo 4. Vale decir, la combinación (2, 4) es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de 4, y cualquier combinación a la derecha del vertice o arriba del vertica no añade utilidad alguna.

La conclusión hasta aquí es que las funciones de utilidad del tipo U =mín(AX₁, BX₂) se representan mediante curvas de indiferencia en forma de L  porque los bienes 1 y 2 se combinan siempre en una proporción fija que está representada por el vértice de la L. Y que, en consecuencia, estos bienes son complementarios perfectos.

Pero, ¿cómo se representan graficamente las funciones de utilidad del tipo U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁)?

En el caso de la función de utilidad U =mín(AX₁, BX₂), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX₁= BX₂, es decir, dado X₁ ,  X₂ es  (A/B)X₁ , y entonces la utilidad que se obtiene con esta combinación es U =mín(AX₁, B(A/B)X₁)= AX₁. Y todas las combinaciones que representan este nivel de utilidad están sobre la recta U =  AX_{1 ,}  o, que es lo mismo, X₁=U/A. Esta última función se representa graficamente como una línea vertical que empieza a una altura sobre el eje horizontal igual a X₂=U/B (recuerde que AX₁= BX₂).

Pero X₂=U/B es, a su vez, una función que se representa graficamente por una línea horizontal que empieza a una distancia del eje vertical igual a X₁=U/A.. Y estas dos líneas, vertical y horizontal se encuentran en la combinación donde AX₁ = BX₂ , combinación que es el vértice de la curva de indiferencia que genera una utilidad de U.

Si todo esto resulta claro, debe resultar igualmente claro, que los bienes complementarios perfectos que están bien representados por la grafica de una curva de indiferencia en forma de L, también lo pueden estar por la grafica correspondiente a la función de utilidad  U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁).

El procedimiento para construir la grafica de la curva de indiferencia que genera una utilidad U de esta función es el mismo que el descrito para la curva que tiene forma de L.

En el caso de esta función de utilidad U=mín(AX₁-X₂, AX₂-X₁), el vertice de una curva de indiferencia se obtiene en la combinación donde se cumple que AX₁-X₂ = AX₂-X₁, es decir,  X₁ =  X₂ . Y la representación grafica de esta función es la bisectriz que parte del orígen de coordenadas con un ángulo de inclinación de 45 grados.

Si queremos construir una curva de indiferencia, entonces empezamos con el vertice de coordenadas X₁ =  X₂ . Y la utilidad que genera esta curva de indiferencia es igual a U =mín(AX₁ – X₂ ,  AX₂ – X₁) = mín(AX₁ – X₁ ,  AX₁ – X₁) = AX₁ – X₁ = AX₂ – X₂ .

Conocemos entonces, la utilidad de la curva de indiferencia y el vértice. Vamos ahora a conocer el resto de la curva. Las combinaciones de los bienes 1 y 2 en la curva de indiferencia que dan una utilidad de U se encuentran sobre las rectas AX₁ – X₂  y AX₂ – X₁ . En la recta  U = AX₁ – X₂ , el número de unidades del bien 2 es igual a X₂  = U + AX₁ . Se trata de una línea recta con pendiente positiva igual a A y que empieza en la combinación X₁ =  X₂ . En el otro caso, de la recta U = AX₂ – X₁ , el número de unidades del bien 2 es igual a X₂  = (U/A) + (X₁ /A) . Se trata, también,  de una línea recta con pendiente positiva igual a 1/A y que empieza en la combinación X₁ =  X₂ . Es decir, aquí no se trata de una curva de indiferencia en forma de L sino de una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo.

Veamos un ejemplo particular que nos explique mejor lo dicho aquí. La función de utilidad es U =mín(2X₁ – X₂ ,  2X₂ – X₁).  X₂ = X₁ es la recta que contiene los vértices de las curvas de indiferencia de esta función. Supongamos que el consumidor se ubica en la combinación (5, 5). Entonces la utilidad obtenida es U = 5. Hacemos ahora 5 = 2X₁ – X₂ , o, lo que es lo mismo,  X₂ = 2X₁ – 5, y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 2 y que empieza en la combinación (5, 5). Si ahora hacemos 5 = 2X₂ – X₁ , o, lo que es lo mismo,  X₂ = 2.5 + 0.5X₁ , y tenemos la recta de pendiente positiva igual a 0.5 y que empieza en la combinación (5, 5). En consecuencia, tenemos una curva de indiferencia en forma de ángulo agudo con vertice sobre la combinación (5, 5).

Tomemos una combinación sobre la recta  X₂ = 2X₁ – 5, que no sea el vertice (5, 5). Si, por ejemplo, X₁ = 10, entonces X₂ = 15, y esta combinación (10, 15) generará una utilidad igual a  U =mín(2*10 – 15 ,  2*15 – 10) = mín(5 ,  20) = 5.

Es decir, la utilidad en (5, 5) es la misma que en (10, 15), lo que confirma que estas combinaciones se encuentran sobre la misma curva de indiferencia. Lo mismo va a ocurrir si nos ubicamos en una combinación como (10, 7.5), que se encuentra sobre la otra recta que forma parte de la curva de indiferencia, X₂ = 2.5 + 0.5X₁ . Aquí la utilidad obtenida es también igual a 5, U =mín(2*10 – 7.5 ,  2*7.5 – 10) = mín(12.5 ,  5) = 5.

Así se confirma que moviéndose desde el vértice (5, 5) por la recta con pendiente 2, por ejemplo en (10, 15), o por la recta con pendiente 0.5, por ejemplo en (10. 7.5), la utilidad es la misma. Es decir, estamos sobre una curva de indiferencia.

Entonces estas curvas de indiferencia en forma de ángulo agudo también representan a los bienes complementarios perfectos. ¿Y qué ocurrirá en el caso de curvas de indiferencia en forma de ángulo obtuso? También se trata de bienes complementarios perfectos.

Un ejemplo de este tipo lo encontramos en Ejercicios de Microeconomía Intermedia, de Bergstrom y Varian. La función de utilidad es U =mín(X₁ + 2X₂ ,  2X₁ + X₂). El lector puede  hacer los cálculos  necesarios, siguiendo el mismo procedimiento que aquí hemos establecido, y se va a encontrar con curvas de indiferencia que forman ángulos obtusos.

Finalmente ¿qué ocurre si en lugar de tener una bisectríz, X₂ = X₁, donde se encuentran los vértices de las curvas de indiferencia, tenemos un rayo del tipo AX₂ =B X₁? Pues nada, se trata de otra forma de representar curvas de indiferencia para bienes complementarios perfectos. El lector tiene aquí otro ejercicio para comprobarlo.

Bergstrom y Varian, Ejercicios de Microeconomía Intermedia, 4a edición, Antoni Bosch editor, capítulo 4, problema 4.7, página 35.
 

El tema parece más o menos evidente si trabajamos con preferencias regulares. Se trata de curvas convexas, suaves, de pendiente negativa. Si el precio del bien en el eje horizontal cae, la recta de presupuesto pivota hacia afuera y el consumidor salta a una curva de indiferencia más alta, a la derecha del óptimo actual. En este caso, uniendo todas las canastas óptimas resultantes del cambio en el precio, obtenemos la curva precio consumo. Ésta es una curva líneal de pendiente cero (¿por qué?). ¹

Pero, ¿qué pasa en el caso de preferencias no regulares, como en el caso de los bienes sustitutos perfectos? ¿Cómo es la CPC?

Y como la TSC es constante e igual a la TOC el consumidor es indiferente frente a cualquier combinación de bienes que se encuentre sobre su recta de presupuesto. Y si se unen todas estas combinaciones óptimas esta recta viene a ser también un tramo de la CPC. El siguiente gráfico dinámico muestra este resultado.

La CPC es la recta de presupuesto porque une todas las combinaciones óptimas para el consumidor. Pero aún no hemos realizado la estática comparativa. Supongamos ahora que el precio del bien 1 cambia. Supongamos que el precio del bien 1 sube. Ahora . ¿Cómo es ahora la CPC?

Más barato es mejor

Si el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2, el consumidor prefiere comprar el bien 2. ¿Cuánto comprará del bien 2? El máximo que me permite comprar mi ingreso dado el precio del bien 2, . ¿Por qué? Porque mi TSC es igual a la unidad pero ahora la TOC es mayor a la unidad. Entonces dejo de consumir el bien 1 y consumo únicamente el bien 2.

Y esto significa que siempre que el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2, la demanda del bien 1 será de cero unidades y la demanda del bien 2 será del máximo de unidades posibles del bien 2. Es decir, la CPC es ahora el eje vertical a partir del intercepto vertical de la recta de presupuesto.

Ahora, si el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2, el consumidor prefiere comprar el bien 1. ¿Cuánto comprará del bien 1? El máximo que me permite comprar mi ingreso dado el precio del bien 1, . ¿Por qué? Porque mi TSC es igual a la unidad pero ahora la TOC es menor a la unidad. Entonces dejo de consumir el bien 2 y consumo únicamente el bien 1.

Y esto significa que siempre que el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2, la demanda del bien 2 será de cero unidades y la demanda del bien 1 será del máximo de unidades posibles del bien 1. Es decir, la CPC es ahora el eje horizontal a partir del intercepto horizontal de la recta de presupuesto.

Resumiendo, la CPC es el eje vertical para el tramo de precios en que el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2; y es el eje horizontal para el tramo de precios en que el precio del bien 1 es menor al precio del bien 2. Y cuando el precio del bien 1 es igual al precio del bien 2 la CPC es la restricción de presupuesto.

En el siguiente gráfico animado se puede apreciar cómo se dibuja la CPC cuando el precio del bien 1 es mayor al precio del bien 2 (y entonces sólo estamos consumiendo el bien 2) y luego el precio del bien 1 va disminuyendo, durante el primer intervalo el precio del bien 1 disminuye pero sigue siendo menor al precio del bien 2 y el consumidor sólo consume el bien 2, en consecuencia, el consumo del bien 2 es el máximo posible e igual al ingreso del consumidor entre el precio del bien 2. Se representa por el punto verde. En un sengundo momento el precio del bien 1 disminuye y se hace igual al precio del bien 2, y en este caso el consumidor se ubica en cualquier combinación de bienes sobre su recta de presupuesto. Y finalmente el precio del bien 1 sigue cayendo y se hace menor al precio del bien 2, y ahora el consumidor prefiere sólo el bien 1. En el primer tramo de precios la CPC es un punto, en el caso de precios iguales, la CPC es la recta de presupuesto, y en el caso final, la CPC es horizontal.

TSC diferentes a la unidad

La CPC para sustitutos perfectos tiene la misma forma incluso para el caso en que la TSC no es igual a la unidad. En estos casos se debe tener cuidado para determinar el tramo de precios donde somos indiferentes entre consumir uno u otro de los bienes. Si 2 unidades del bien 2 son equivalentes, para mí, a una unidad del bien 1, entonces me dará igual consumir el bien 1 o el bien 2 si el precio del bien 1 es el doble del precio del bien 2. Esto es así porque con el dinero suficiente para comprar una unidad del bien 1 puedo comprar dos unidades del bien 2 y estas cantidades son indiferentes para mí.

Por la misma razón, si el precio del bien 1 es más del doble del precio del bien 2, sólo consumiré el bien 2 y sólo consumiré el bien 1 si el precio del bien 1 es menor al doble del precio del bien 2.

La demanda marshalliana

A partir de la CPC podemos estudiar el comportamiento del consumidor en términos de sus opciones para cada uno de los bienes cuando cambia su precio. Esto nos lleva a la curva de demanda marshalliana o curva de demanda ordinaria.

La curva de demanda ordinaria es el locus geométrico de las cantidades óptimas del bien para cada nivel de precio.

Si queremos estimar la demanda del bien 1, tomamos las cantidades óptimas de la CPC para cada cambio en el precio del bien 1. Graficamos en el eje horizontal las cantidades óptimas del bien y en el eje vertical el precio. En consecuencia, la curva de demanda ordinaria nos muestra la cantidad demandada, óptima, para cada precio del mismo bien, manteniendo constantes el ingreso del consumidor y el precio del otro bien.

En el tramo de precios donde la CPC es un tramo del eje vertical, la demanda del bien 1 es cero. En el tramo de precios donde la CPC es la recta de presupuesto, la demanda del bien 1 va desde CERO hasta el máximo que puede comprar destinando todo su ingreso. Finalmente cuando la CPC es horizontal la demanda del bien 1 es  m/P₁ . Este tramo de la curva es una HIPÉRBOLA con pendiente negativa.  El grafico animado que sigue muestra el comportamiento de la curva de demanda.

1. La demanda de un bien con preferencias regulares (funciones de utilidad del tipo Cobb Douglas) depende de su propio precio y del ingreso y no depende del precio del otro bien. En consecuencia, cuando cambia el precio de uno de los bienes, no cambia la cantidad demandada del otro bien. Si el precio del bien en el eje horizontal cambia, cambia la cantidad óptima de este bien sin que cambie la cantidad óptima del bien en el eje vertical. En consecuencia la CPC que une todas las combinaciones óptimas cuando cambia el precio del bien en el eje horizontal, tiene siempre la misma altura, porque la cantidad óptima del bien en el eje vertical no cambia. Entonces la CPC es una horizontal a la altura de la cantidad óptima del bien en el eje vertical.